班级　　　　　　　　姓名：　　　　　　　　　　座号：　　　　　　

一、选择题：每小题５分，共６０分

１．设
是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，
＝２
－x，则
的值是（ ）

（A）－1 　　　　　（B）－３ 　　　　（C）１ 　　　　　（D）３

２．若
＝
　（
）是偶函数，则的值是（　 　）

（Ａ）
　　　　　　　　（Ｂ）
　　　　　　（Ｃ）
　　　　　（Ｄ）

３．在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别是a、b、c，若bcosA=acosB,则△ＡＢＣ是（ ）

（Ａ）等腰三角形 　　　　 　（Ｂ） 直角三角形 　　

（Ｃ） 等腰直角三角形 　　　（Ｄ） 等边三角形

４．已知数列
中，
=1，若
　（n≥2），则
的值是（ ）

（A） 7 　　　　　　　（B）5 　　　　　　　（Ｃ）30　　　　　　（Ｄ）31

５．直线Ｌ：x－y－２＝０被圆
截得的弦长为２
，则a的值是（　　）

（Ａ）－１或
　　　　（Ｂ）１或３　　　　　　（Ｃ）－２或６　　　（Ｄ）０或４

６．已知双曲线
（a>0 , b>0 ）的一条渐近线方程是
，且双曲线与抛物线
有共同的一个焦点，则双曲线的方程是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

７．已知x>0，y>0，xy＝２x＋８y，当xy取得最小值时，x、y的值分别是（　　　）

（Ａ）x＝１６，y＝４　　　　　　　　（Ｂ）x＝４，y＝１６　

（Ｃ）x＝８，y＝８　　　　　　　　　（Ｄ）x＝２，y＝８

８．已知
＝
,若
，则
的值是（ ）

（Ａ）　２　　　　　　（Ｂ）　３　　　　　　（Ｃ）　４　　　　　　（Ｄ）　５

９．如图：ＰＡ⊥⊙Ｏ所在的平面，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，

Ｃ是⊙Ｏ上的一点，ＡＥ⊥ＰＣ，ＡＦ⊥ＰＢ，

给出下列结论①ＡＥ⊥ＢＣ，②ＡＥ⊥ＰＢ，③ＡＦ⊥ＢＣ　

④ＡＥ⊥平面ＰＢＣ，其中正确命题的序号是（　 　）

（Ａ） ①　②　　　　　　　（Ｂ）①　③　

（Ｃ）①　②　④　　　　　（Ｄ）①　③　④

１０．以下命题中真命题的个数是（　　　）

（１）若直线
平行于平面内的无数条直线，则

（２）若直线
在平面α外，则

（３）若
，
，则

（４）若
，
，则平行于内无数条直线

（Ａ）4　　　　　　　（Ｂ）２　　　　　　　（Ｃ）1　　　　　（Ｄ）0

１１．已知
＝
，若
是y＝
的零点，当
时，
的值是（ ）

（Ａ）恒为正值　　　（Ｂ）恒为负数　　　　（Ｃ）恒为０　　　（Ｄ）不能确定

1２．某几何体的一条棱长为５，该几何体的正视图中，这条棱的投影长为４，在侧视图和

俯视图中，这条棱的投影长分别为m、n，则
的值是（ ）

（A）3 　　　　　　 （B） 4 　　　　　 （C）5 　　　　（D） 34

二．填空题：每小题４分，共１６分

1３．设
=
（x∈R）当
时
恒成立，

则m的取值范围是

1４．若
，则tan的值是

１5．若点（３，１）是抛物线
的一条弦的中心点，且这条弦所在直线的斜率为2，

则p的值是

1６．在xoy平面上有一系列点
（
，
）、
（
，
）┉
（
，
），对于每个自

然数n，点
（
，
）位于函数
（x≥０）图象上，以点
为圆心的⊙
与x轴相切， 又与⊙
外切，若
＝１，
<
（n∈
），则数列
的通项公式
＝　　　　　

三．解答题：

１7．（１２分）已知
＝
，

（１）求
的最小正周期和单调递增区间

（２）当
时，求
的值域

１8．（１２分）设数列
的首项
，
　　（n∈
）

（１）求证：数列
为等比数列

（２）记
＝


┉＋
，求
的值

１9．（１２分）已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ABC＝４５°，

ＤＣ＝１，ＡＢ＝２，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰＡ＝１

求证：ＡＢ//平面ＰＣＤ

求证：ＢＣ⊥平面ＰＡＣ

若Ｍ是ＰＣ的中点，求三棱锥Ｍ－ＡＣＤ的体积

20．（１２分）已知函数
=m

（１）若a＝b＝
且m＝１，求
的最大值

（２）当a＝０，b＝－１时，方程m
＝
有唯一的一个实数解，求正数m的取值范围

21．（１２分）椭圆Ｇ:
（a>0 , b>0 ）与x轴交于Ａ、Ｂ两点，Ｆ是它的右焦点，若
，＝－１且｜ＯＦ｜＝１

（１）求椭圆Ｃ的标准方程

（２）设椭圆Ｇ的上顶点为Ｍ，是否存在直线Ｌ，Ｌ交椭圆于Ｐ（
，
）、Ｑ（
，
）两点，满足ＰQ⊥MF，且｜ＰＱ｜＝
，若存在，求直线Ｌ的方程，若不存在，请说明理由。

２2．（１４分）已知函数
＝
－４，点
（
，０），过点
作x轴的垂线交抛物线Ｃ：y＝
于点
，过
作抛物线Ｃ：y＝
的切线与x轴交于点
（
，０），过点
作x轴的垂线交抛物线Ｃ：y＝
于点
，过点
作抛物线Ｃ：y＝
的切线交x轴于点
（
，０）┉依次下去，得到
、
、
┉，
，其中
>０，

（１）求
与
的关系式

（２）若
>２，记
，证明数列
是等比数列

（３）若
＝
，求数列
的前n项和

南安一中2013～2014学年度上学期期末考

高三数学文科试卷

一选择题：每小题５分，共６０分

８．Ｂ解：∵
　 ∴

∴
∴

二．填空题：每小题４分，共１６分

1３． m≤1解：∵
是奇函数且为增函数，由
得

∴m≤
∵
≥1 ∴m≤1

1４． 2解：∵
∴
∴tan＝２

１５． 2解：由
得４
－（２０＋２p）x＋２５＝０，∴
　∴p＝２

1６．
解：∵
　∴

三．解答题：

１8．(12分)设数列
的首项
，
　　（n∈
）

（１）求证：数列
为等比数列

（２）记
＝


┉＋
，求
的值

解：（１）∵
　　∴
－１＝
（
＋１）

　∵
－１＝

∴　数列
是首项
，公比为
的等比数列　　　┉┉┉┉┉┉６分

（２）∵　
＝

＋１

　∴　
＝


┉＋

　　　　＝

＝１＋n－
　┉┉┉１２分

１9．(12分) 已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ABC＝４５°，

ＤＣ＝１，ＡＢ＝２，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰＡ＝１

求证：ＡＢ//平面ＰＣＤ

求证：ＢＣ⊥平面ＰＡＣ

若Ｍ是ＰＣ的中点，求三棱锥Ｍ－ＡＣＤ的体积

解：（１）∵ＡＢ//ＣＤ　ＡＢ平面ＰＣＤ　ＣＤ平面ＰＣＤ

∴ＡＢ//平面ＰＣＤ　　　　　　┉┉┉┉┉┉４分

（２）在直角梯形ＡＢＣＤ中，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，

则四边形ＡＤＣＥ为矩形，　∴ＡＥ＝ＤＣ＝１

又ＡＢ＝２，∴ＢＥ＝１，

在Ｒt△ＢＥＣ中，∠ABC＝４５°，∴ＣＥ＝ＢＥ＝１，ＣＢ＝

则ＡＣ＝
＝
　　∴

∴　ＢＣ⊥ＡＣ

∵ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ　　∴ＰＡ⊥ＢＣ　

∵ＰＡ∩ＡＣ＝Ａ，　∴ＢＣ⊥平面ＰＡＣ　　┉┉┉┉┉┉８分

（３）∵Ｍ是ＰＣ的中点，　

　∴Ｍ到平面ＡＤＣ的距离是Ｐ到平面ＡＤＣ的距离的一半

∴
　┉┉┉┉┉┉１２分

20．(12分)已知函数
=m

若a＝b＝
且m＝１，求
的最大值

当a＝０，b＝－１时，方程m
＝
有唯一的一个实数解，求正数m的取值范围

解：（１）
=
　　∴
＝

由
＝０且x>０得x＝１

Ｘ

(0，１)

　１　

（１，＋∞）





＋

０

　　－



f ( x )

↗

－

　　　↘



∴
的最大值是
＝－
　　　　　　　　　　　┉┉┉┉┉┉６分

（２）设
防　则

令
＝０且x>０得x＝m

Ｘ

(0 ，m )

　m　

（m ，＋∞）





－

０

　　＋



f ( x )

↘

g（m）

　　　↗



∴
的最小值是

∵方程m
＝
有唯一的一个实数解 ∴m＝１ 　┉┉┉１２分

21．(12分)椭圆Ｇ:
（a>0 , b>0 ）与x轴交于Ａ、Ｂ两点，Ｆ是它的右焦点，

若
＝－１且｜ＯＦ｜＝１

（１）求椭圆Ｃ的标准方程

（２）设椭圆Ｇ的上顶点为Ｍ，是否存在直线Ｌ，Ｌ交椭圆于Ｐ、Ｑ两点，满足ＰQ⊥MF，且｜ＰＱ｜＝
，若存在，求直线Ｌ的方程，若不存在，请说明理由。

解：（１）∵ Ｃ＝１　　

∴

∴椭圆Ｃ的方程是
┉┉┉４分

设P（
，
）　Q（
，
）

　∵ＭＦ⊥ＰＱ　　设
：y＝x＋m

由
得

∴
＝－
，
＝
　┉┉┉┉┉┉８分

由｜ＰＱ｜＝
得

　　∴（

　－４
＝

∴　

＝
　　　∴　m＝
　经检验m＝
时△>０

∴　所求的直线方程是：y＝x
　　　　┉┉┉┉┉┉１２分

２2．(1４分)已知函数
＝
－４，点
（
，０），过点
作x轴的垂线交抛物线Ｃ：y＝
于点
，过
作抛物线Ｃ：y＝
的切线与x轴交于点
（
，０），过点
作x轴的垂线交抛物线Ｃ：y＝
于点
，过点
作抛物线Ｃ：y＝
的切线交x轴于点
（
，０）┉依次下去，得到
、
、
┉，
，其中
>０，

（１）求
与
的关系式 （２）若
>２，记
，证明数列
是等比数列

（３）若
＝
，求数列
的前n项和

解：（1）∵
＝２

∴切线Ｌ的方程为

令y＝０得
　┉┉┉┉┉┉５分

（２）

∴
∴数列
是首项为
公比为２的等比数列　┉９分

（３）