本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数
（为虚数单位）的共轭复数在复平面内所对应的点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．集合
，集合
，若集合
，则实数的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

3．已知数列
为等差数列，且
，则
的值为（　　）

A．
B．
C．
D．

4．已知，是两条不重合的直线，、
、是三个两两不重合的平面，则下列命题成立的是（　　）

A．若∥，∥，则∥ B．若∥，∥，则∥

C．若∥
，∩=，
∩=，则∥ D．若，
，∥，则∥

5．为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像（　　）

A．向右平移
个单位 B．向左平移
个单位 C．向右平移
个单位 D．向左平移
个单位

6．已知
，
是椭圆的两个焦点，满足
的点
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围为（　　）

A．(0，1) B．(0，
] C．(0，
) D．[
，1)

7．已知，，
在圆
上，且
，则
（　　）

A．
B．
C．
D．

8．右图是函数
的部分图像，则函数
的零点所在的区间是（　　）

A.
B.
C.
D.

9．若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，则
的取值范围（　　）

A．
B．
C．
D．

10．函数
，当
时，
恒成立, 则
的最大值与最小值之和为（　　）

A．18 B．16 C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．函数
满足
，且
时，
，则
____________.

12．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____.

13．点
在不等式组
表示的平面区域内运动，则
的取值范围是_______.

14．已知条件：
，条件：
，且
是
的充分不必要条件，则的取值范围是____________.

15．若等差数列
的首项为
公差为
，前项的和为
，则数列
为等差数列，且通项为
．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列
的首项为
，公比为，前项的积为
，则 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）

已知函数
.

(Ⅰ)求
的值； (Ⅱ)求函数
的最小正周期及单调递减区间.

17．（本小题满分13分）

如图，矩形
与梯形
所在的平面互相垂直，
，
∥
，
,
，
为
的中点．

(Ⅰ)求证：
∥平面
；

(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值．

18．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间及其在
处的切线方程；

（Ⅱ）若
，且
对任意
恒成立，求的最大值．

19．（本小题满分13分）

如图，已知直线
与抛物线
和圆
都相切，是抛物线
的焦点．

（Ⅰ）求与的值；

（Ⅱ）设是
上的一动点，以为切点作抛物线
的切线
，直线
交轴于点，以
，
为邻边作平行四边形
，证明：点
在一条定直线上；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记点
所在的定直线为
，直线
与轴交点为
，连接
交抛物线
于，
两点，求△
的面积
的取值范围．

20．（本小题满分14分）

有一种新型的洗衣液，特点是去污速度快.已知每投放
,且
个单位的洗衣液，它在水

中释放的浓度与时间 (小时)的关系可近似地表示为:
，其中
；若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗

衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，只有当水中洗衣液的浓度不低于
时，才能起到有效

去污的作用.

(Ⅰ) 如果只投放1个单位的洗衣液，则能够维持有效去污作用的时间有多长?

(Ⅱ) 第一次投放1个单位的洗衣液后, 当水中洗衣液的浓度减少到
时,马上再投放1个单位的

洗衣液，设第二次投放后水中洗衣液的浓度为
,求
的函数解析式及其最大值；

（Ⅲ）若第一次投放2个单位的洗衣液，4小时后再投放个单位的洗衣液，要使接下来的2小时

中能够持续有效去污,试求的最小值．

21．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选两题做答，满分14分.若多做，则按所做的前两题计分.请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵
，
.

（Ⅰ）试求矩阵
；

（Ⅱ）若矩阵所对应的线性变换把直线
变为直线
，求直线
的方程.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程为
；

（Ⅰ）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若
是曲线
上的一个动点，求
的最大值．

（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲

已知，
，为实数，且

（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若求实数的取值范围．

南安一中2014届高三年上学期期末考试

数学试题（理科）答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1

2

3

4

5



6

7

8

9

10



D

A

B

C

D



C

D

D

A

D





因为

,…………………7分

所以
的最小正周期为
. …………………………………………………8分

因为函数
的单调递减区间为
,

由
,

得
,

所以
的单调递减区间为
．…………13分

17．（本小题满分13分）

证明 ：（Ⅰ）取DE中点N，连结MN，AN

在
中，M，N分别为ED，EC的中点，

所以MN//CD，且

又已知AB//CD，且
，所以MN//AB，且MN=AB

所以四边形ABMN为平行四边形 ，所以BM//AN；又因为
平面BEC，且
平面BEC

所以MM//平面ADEF；…………………………………………………………………………6分

（II）解：在矩形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，

所以ED⊥平面ABCD，又AD⊥CD，

所以，取D为原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，则

D（0,0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，3）

设
为平面BEC的一个法向量。

因为
＝（－2，2，0），
＝（0，－4，3），

所以
，令x＝1，得y＝1，z＝
，所以
，

设DB与平面BEC所成角为α，则sinα=|cos
|=
=

所以，DB与平面BEC所成角的正弦值为
．……………………………………………………13分

（2）解：由（1）知，
，所以
对任意
恒成立，

即
对任意
恒成立．…………6分

令
，则
，……………………7分

令

，则
，

所以函数
在
上单调递增．………………………8分

因为
，所以方程
在
上存在唯一实根
，且满足
．

19．（本小题满分13分）

解：(1)由已知，圆
的圆心为
，半径
.

由题设圆心到直线
的距离
，即
，

解得
，
.……………………………………………………3分

设
与抛物线的切点为
，又
，得


，
.

代入直线方程得：
，

∴
，
. ………………………………………………………………5分

(2)由(1)知抛物线
方程为
，焦点
.

设
，由(1)知以为切点的切线
的方程为
.

令
，得切线
交y轴的B点坐标为

所以
，
，

∴
，

∴
，即点
在定直线
上.……………………………………8分

(3)设直线
，代入

得
，设，
的横坐标分别为
，

则
，

∴
；

∵
，

∴
，即△
的面积S范围是
. ……………………13分

当
时,
=
；

当
时,
；

所以
………………………………………………7分

当
时,
=
=
；

当且仅当
时取“=”,即
；

当
时,第一次投放1单位洗衣液已无残留,

当
时,
,所以
为增函数；

当
时,
为减函数;故
=
,

又
,

∴第一次投放
小时后, 水中洗衣液浓度的达到最大值为
；………………10分

（3）当
时

……………………………………………………………11分

若
时，

∴
恒成立；

若
时，

∴
，

∴由
得
， ∴
；综上，
，即的最小值为
．……14分

21．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选两题做答，满分14分.若多做，则按所做的前两题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）解：（Ⅰ）
………………………………3分

（Ⅱ）任取直线
上一点
,设点经矩阵变换后得到
，则
，

代入
，得
，

∴直线
的方程为
.………………………………7分

（2）解：（Ⅰ）由
得

∴
； ……………………………………3分

（Ⅱ）设
，则
=