北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科） 2014.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，
，则集合
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



2．已知复数z满足
，那么的虚部为（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





3．在△ABC中，角A， B，C所对的边分别为a，b，c. 若
，
，
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）



5．已知圆
与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧
的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）





6． 若曲线
为焦点在轴上的椭圆，则实数,
满足（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）





7．定义域为R的函数
满足
，且当
时，
，则当
时，
的最小值为（ ）



（A）

（B）

 （C）

（D）





8. 如图，正方体
的棱长为
，动点P在对角线
上，过点P作垂直于
的平面，记这样得到的截面多边形

（含三角形）的周长为y，设
x，

则当
时，函数
的值域为（ ）



（A）





（B）





（C）





（D）







第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 在平面直角坐标系
中，点
，
，若向量
，则实数
_____．

10．若等差数列
满足
，
，则公差
______；
______．

11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．

12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）

13． 如图，
为圆
上的两个点，为
延长线上一点，
为圆
的切线，为切点. 若
，
，则
______；
______．

14．在平面直角坐标系
中，记不等式组
所表示的平面区域为.在映射
的作用下，区域内的点
对应的象为点
.

（1）在映射的作用下，点
的原象是 ；

（2）由点
所形成的平面区域的面积为______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
，
，且
的最小正周期为.

（Ⅰ）若
，
，求的值；

（Ⅱ）求函数
的单调增区间.

16．（本小题满分13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．

（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；

（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；

（Ⅲ）当
时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

17．（本小题满分14分）

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，
，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）求直线DH与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的大小.

18．（本小题满分13分）

已知函数
，其中是自然对数的底数，
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，试确定函数
的零点个数，并说明理由.

19．（本小题满分14分）

已知
是抛物线
上的两个点，点的坐标为
，直线
的斜率为k，
为坐标原点.

（Ⅰ）若抛物线
的焦点在直线
的下方，求k的取值范围；

（Ⅱ）设C为W上一点，且
，过
两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求
的最小值.

20．（本小题满分13分）

设无穷等比数列
的公比为q，且
，
表示不超过实数
的最大整数（如
）,记
，数列
的前项和为
，数列
的前项和为
.

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）若对于任意不超过
的正整数n，都有
，证明：
.

（Ⅲ）证明：
（
）的充分必要条件为
.

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末

高三数学（理科）参考答案及评分标准

2014.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．C 3．D 4．B

5．A 6．C 7．A 8．D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9． 10．

11．
12．

13． 14．

注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为
的最小正周期为，

所以
，解得
． ……………… 3分

由
，得
，

即
， ……………… 4分

所以
，
.

因为
，

所以
. ……………… 6分

（Ⅱ）解：函数

……………… 8分

， ………………10分

由
， ………………11分

解得
． ………………12分

所以函数
的单调增区间为
.…………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，得
， ……………… 2分

解得
. ……………… 3分

（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件， ……………… 4分

依题意
，共有10种可能. ……………… 5分

由（Ⅰ）可知，当
时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，

所以当
时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分

所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率
． ……………… 7分

（Ⅲ）解：当
时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有
种， 它们是：
，
，
，
，
，
，
，
，
， ……………… 9分

则这两名同学成绩之差的绝对值
的所有取值为
. ……………… 10分

因此
，
，
，
，
.

……………… 11分

所以随机变量
的分布列为：

0

1

2

3

4

















………………12分

所以
的数学期望
．……………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为四边形
是菱形，

所以
. ……………… 1分

因为平面
平面
，且四边形
是矩形，

所以
平面
， ……………… 2分

又因为
平面
，

所以
. ……………… 3分

因为
，

所以
平面
. ……………… 4分

（Ⅱ）解：设
，取
的中点
，连接
，

因为四边形
是矩形，
分别为
的中点，

所以
，

又因为
平面
，所以
平面
，

由
，得
两两垂直.

所以以
为原点，
所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分

因为底面
是边长为2的菱形，
，
，

所以
，
，
，
，

，
，
. ………………6分

因为
平面
，

所以平面
的法向量
. …………7分

设直线
与平面
所成角为，

由
，

得
，

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
. ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得
，
.

设平面
的法向量为
，

所以
………………10分

即

令
，得
. ………………11分

由
平面
，得平面
的法向量为
，

则
. ………………13分

由图可知二面角
为锐角，

所以二面角
的大小为
. ………………14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为
，
，

所以
． ……………… 2分

令
，得
． ……………… 3分

当变化时，
和
的变化情况如下：





















↘



↗



……………… 5分

故
的单调减区间为
；单调增区间为
．………… 6分

（Ⅱ）解：结论：函数
有且仅有一个零点. ……………… 7分

理由如下：

由
，得方程
，

显然
为此方程的一个实数解.

所以
是函数
的一个零点. ……………… 9分

当
时，方程可化简为
.

设函数
，则
，

令
，得
．

当变化时，
和
的变化情况如下：





















↘



↗



即
的单调增区间为
；单调减区间为
．

所以
的最小值
. ………………11分

因为
，

所以
，

所以对于任意
，
，

因此方程
无实数解．

所以当
时，函数
不存在零点.

综上，函数
有且仅有一个零点. ………………13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：抛物线
的焦点为
. ……………… 1分

由题意，得直线
的方程为
， ……………… 2分

令
，得
，即直线
与y轴相交于点
. ……………… 3分

因为抛物线
的焦点在直线
的下方，

所以
，

解得
. ……………… 5分

（Ⅱ）解：由题意，设
，
，
，

联立方程
消去，得
，

由韦达定理，得
，所以
. ……………… 7分

同理，得
的方程为
，
. ……………… 8分

对函数
求导，得
，

所以抛物线
在点处的切线斜率为
，

所以切线
的方程为
， 即
. ……………… 9分

同理，抛物线
在点
处的切线
的方程为
.………………10分

联立两条切线的方程

解得
，
，

所以点的坐标为
. ………………11分

因此点在定直线
上. ………………12分

因为点
到直线
的距离
，

所以
，当且仅当点
时等号成立． ………………13分

由
，得
，验证知符合题意.

所以当
时，
有最小值
. ………………14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由等比数列
的
，
，

得
，
，
，且当
时，
. ……………… 1分

所以
，
，
，且当
时，
. ……………… 2分

即
……………… 3分

（Ⅱ）证明：因为
，

所以
，
. ……………… 4分

因为
，

所以
，
. ……………… 5分

由
，得
. ……………… 6分

因为
，

所以
，

所以
，即
. ……………… 8分

（Ⅲ）证明：（充分性）因为
，
，

所以
，

所以
对一切正整数n都成立.

因为
，
，

所以
. ……………… 9分

（必要性）因为对于任意的
，
，

当
时，由
，得
；

当
时，由
，
，得
.

所以对一切正整数n都有
.

由
，
，得对一切正整数n都有
， ………………10分

所以公比
为正有理数. ………………11分

假设
，令
，其中
，且与的最大公约数为1.

因为
是一个有限整数，

所以必然存在一个整数
，使得
能被
整除，而不能被
整除.

又因为
，且与
的最大公约数为1.

所以
，这与
（
）矛盾.

所以
.

因此
，
. ……………13分