一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．若集合
，则
=

2. 已知
中
且
；则

3．若函数
为奇函数，则

4．函数
的反函数是

5．棱长为1的正三棱柱
中，异面直线
与
所成角的大小为

6．在实数集上定义运算
：
,若
对任意实数都成立，则实数的取值范围是

7．已知
，则行列式

8．已知直线
，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是

9. 若常数满足
，则

10．已知函数
则满足不等式
的的范围是

11．
的两条边上的高的交点为
，外接圆的圆心为
，
，则实数

12．设
,若
恒成立,则
的最大值为

13．在直角坐标系中，定义
为两点
之间的“折线距离”；则圆
上一点与直线
上一点的“折线距离”的最小值为

14．设
，对于项数为的有穷数列
，令
为
中最大值，称数列
为
的“创新数列”．例如数列
3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．

考查正整数
的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列
，则创新数列为等差数列的
的个数为

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在括号内），一律得零分.

15．不等式
的解集是 （ ）

A.
B. C.
D.

16．地球北纬
圈上有，两地，分别在东经
和西经
处，若地球半径为，则，两地的球面距离为。 ( )

A．
B．
C．
D．

17．在
中，
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

18．已知
是定义在
上的奇函数，
.当
时，

，则方程
的解的个数为 （ ）

A．0 B．2 C．4 D．6

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

19．（本题满分12分，第（1）题6分、第（2）题6分）

棱长为2的正方体
中，点是棱的
中点．

（1）求直线
与平面
所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求四面体
的体积．

20．（本题满分14分，第（1）题6分、第（2）题8分）

已知函数

(1)求函数
的最小正周期；(2)若存在
，使不等式
成立，求实数m的取值范围.

21．（本题满分14分）

已知
是定义在区间
上的奇函数，且
，若
时，有
。（1）解不等式
（2）若
对所有
恒成立，求实数的取值范围。

22．（本题满分16分，第（1）题3分、第（2）题5分、第（3）题8分）

如图，已知双曲线
，曲线
，是平面上一点，若存在过点的直线与
、
都有公共点，则称为“
型点”．

(1)在正确证明
的左焦点是“
型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

(2)设直线
与
有公共点，求证
，进而证明原点不是“
型点”；

(3)求证：圆
内的点都不是“
型点”．

23．(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.

有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第
项为

，公差为
，并且
成等差数列．

（1）证明
（
，
是的多项式），并求
的值；

（2）当
时，将数列
分组如下：

(每组数的个数构成等差数列)．设前组中所有数之和为
，求数列
的前项和
．

（3）设
是不超过20的正整数，当
时，对于（Ⅱ）中的
，求使得不等式
成立的所有
的值．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

二、选择题（本大题满分20分）

15．（ C ） 16． ( B ) 17．（ A ） 18．（ C ）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

19．（本题满分12分，第（1）题6分、第（2）题6分）

棱长为2的正方体
中，点是棱的
中点．

（1）求直线
与平面
所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求四面体
的体积．

[解]（1）连接
，
平面
，

∴
即为直线
与平面
所成角

∵
，
，
， ∴

，

（2）连接
、
，则

20．（本题满分14分，第（1）题6分、第（2）题8分）

已知函数

(1)求函数
的最小正周期；(2)若存在
，使不等式
成立，求实数m的取值范围.

解析：(1)

∴ 函数
的最小正周期

(2) 当
时，

∴ 当
，即
时，
取最小值－1

所以使题设成立的充要条件是
，故m的取值范围是

21．（本题满分14分）

已知
是定义在区间
上的奇函数，且
，若
时，有
。（1）解不等式
（2）若
对所有
恒成立，求实数的取值范围。

22．（本题满分16分，第（1）题3分、第（2）题5分、第（3）题8分）

如图，已知双曲线
，曲线
，是平面上一点，若存在过点的直线与
、
都有公共点，则称为“
型点”．

(1)在正确证明
的左焦点是“
型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

(2)设直线
与
有公共点，求证
，进而证明原点不是“
型点”；

(3)求证：圆
内的点都不是“
型点”．

【解答】：（1）
的左焦点为
，过的直线
与
交于
，与
交于
，故
的左焦点为“
型点”，且直线可以为
；

（2）直线
与
有交点，则

，若方程组有解，则必须
；

直线
与
有交点，则

，若方程组有解，则必须

故直线
至多与曲线
和
中的一条有交点，即原点不是“
型点”。

（3）显然过圆
内一点的直线
若与曲线
有交点，则斜率必存在；

根据对称性，不妨设直线
斜率存在且与曲线
交于点
，则

直线
与圆
内部有交点，故

化简得，
。。。。。。。。。。。。①

若直线
与曲线
有交点，则

若
，则

化简得，
。。。。。②

由①②得，

但此时，因为
即①式不成立；

当
时，①式也不成立

综上，直线
若与圆
内有交点，则不可能同时与曲线
和
有交点，

即圆
内的点都不是“
型点”．

23．(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.

有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第
项为

，公差为
，并且
成等差数列．

（1）证明
（
，
是的多项式），并求
的值；

（2）当
时，将数列
分组如下：

(每组数的个数构成等差数列)．设前组中所有数之和为
，求数列
的前项和
．

（3）设
是不超过20的正整数，当
时，对于（2）中的
，求使得不等式
成立的所有
的值．

解：（1）由题意知
．

，

同理，
，
，…，
．

又因为
成等差数列，所以
.

故
，即
是公差为
的等差数列．

所以，
．

令
，则
，此时
．

（3）由（2）得
，

.

故不等式
就是
．

考虑函数

．

当
时，都有
，即
．

而
，

注意到当
时，
单调递增，故有
.

因此当
时，
成立，即
成立．

所以,满足条件的所有正整数