上海市长宁区2014届高三上学期期末教学质量检测（一模）数学（理）试题

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1、设
是上的奇函数，当
时，
，则

2、已知复数
，
，则
．

3、已知函数
的图像关于直线
对称，则

4、已知命题
，命题
，若是的充分不必要条件，则实数的范围是 .

5、数列
满足
，则
.

6、一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 .

7、设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－
］上单调递增，则ω的取值范围是_________.

8、不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共10只，从中任意摸出一只小球得到是黑球的概率为
．则从中任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为 ．

9、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是，b，c.若
，
，则角＝

10、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，
,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则

11、已知数列
都是公差为1的等差数列,其首项分别为
,且

设
则数列
的前10项和等于______.

12、函数
在
上
恒成立，则的取值范围是
.

13、已知
的展开式中的常数项为，
是以为周期的偶函数，且当
时，
，若在区间
内，函数
有4个零点，则实数
的取值范围是 ．

14、定义：
表示
中的最小值．若定义

，对于任意的
，均有
成立，则常数的取值范围是
．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15、下列命题中，错误的是 ( )

A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交

B.平行于同一平面的两个不同平面平行

C.如果平面不垂直平面
，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

D.若直线
不平行平面，则在平面内不存在与
平行的直线

16、已知
，不等式
的解集为，且
，则的取值范围是 ( ).
.

.
或
.
或

17、已知△ABC为等边三角形,
,设点P,Q满足
,
,
,若
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

18、函数
的定义域为
，值域为
，变动时，方程
表示的图形可

以是 （ ）



A． B． C． D．

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．

19.（本题满分12分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分6分）

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，M、E分别是
和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.

(1)求证：BB1∥平面EFM；

(2)求四面体
的体积。

20.（本题满分14分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分8分）

在
中,已知
.

(1)求证
;

（2）若
求角A的大小.

21.（本题满分14分，其中（1）小题满分7分，（2）小题满分7分）

上海某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求
），为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是
元.

(1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

22、（本题满分16分，其中（1）小题满分4分，（2）小题满分6分，（3）小题满分6分）

已知函数
，

若
是常数，问当
满足什么条件时，函数
有最大值，并求出
取最大值时的值；

是否存在实数对
同时满足条件：（甲）
取最大值时的值与
取最小值的值相同，（乙）
？

把满足条件（甲）的实数对
的集合记作A，设
，求使
的的取值范围。

23、（本题满分18分，其中（1）小题满分4分，（2）小题满分6分，（3）小题满分8分）

由函数
确定数列
，
.若函数
能确定数列
，
，则称数列
是数列
的“反数列”.

（1）若函数
确定数列
的反数列为
，求
；

（2）对（1）中的
，不等式
对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；

（3）设
（
为正整数），若数列
的反数列为
，
与
的公共项组成的数列为
（公共项
为正整数），求数列
的前项和
.

答案

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、
2、
3、
4、
5、
6、

7、
8、
9、
10、

11、
12、
13、
14、

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、D 16、D 17、A 18、B

三、解答题

19、解析：(1)证明：连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，

∴BB1∥ME， …………3分

又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM. …………6分

（2）正三棱柱中
，由（1）
，所以
，

…………8分

根据条件得出
，所以
，…………10分

又
，因此
。 …………12分

20、(1)∵
,∴
,

即
. …………2分

由正弦定理,得
,∴
. …………4分

又∵
,∴
.∴
即
.

…………6分

(2)∵
,∴
.∴
.…………8分

∴
,即
.∴
. …………10分

由 (1) ,得
,解得
. …………12分

∵
,∴
.∴
. …………14分

21、解：(1)根据题意，
…………4分

又
，可解得
…………6分

因此，所求的取值范围是
…………7分

(2)设利润为元，则
…………11分

故
时，
元． …………13分

因此该工厂应该以每小时6千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为457500元。

…………14分

22、解： （1）
解得
且
；…………2分

当
时
有最小值。 …………4分

（2）由
得
，…………6分

所以
，其中
为负整数，当
时，
或者
，…………8分

所以存在实数对
满足条件。 …………10分

（3）由条件
知，当
成立时，
恒成立，因此，

恒成立， …………12分

当
时，右边取得最大值
， …………14分

因此
，因为
，所以
. …………16分

23、解： （1）
，则
；…………4分

（2）不等式化为：
，…………5分

设
，因为
，

所以
单调递增， …………7分

则
。因此
，即
.因为
，

所以
，
得
. …………10分

（3）当
为奇数时，
，
. …………11分

由
，则
，

即
，因此
， …………13分

所以
…………14分

当
为偶数时，
，
. …………15分

由
得
，即
，因此
， …………17分

所以
…………18分