2013学年奉贤区调研测试

高三数学试卷（理科） 2014.1.

（考试时间：120分钟，满分150分）

一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-13题每个空格填对得4分，14题每空填对得2分否则一律得零分.

1、设
,
, 则
=

2、函数
=

3、执行如图所示的程序框图．若输出
，则输入角

4、已知
是公比为2的等比数列，若
，

则
=

5、函数
图像上一个最高点为
, 相邻的一个最低点为
,则

6、
的三内角
所对边的长分别为
，设向量
,
，若
∥
,则角
的大小为 ．

7、已知函数
，若
且
，则
的取值范围是

8、已知定点
和圆
＋
＝4上的动点
，动点
满足
，则点
的轨迹方程为

9、直角
的两条直角边长分别为3,4，若将该三角形绕着斜边旋转一周所得的几何体的体积是
,则

10、数列
，如果
是一个等差数列，则

11、在棱长为
的正方体
中,
是
的中点, 若
都是
上的点, 且
，
是
上的点, 则四面体
的体积是

12、函数
的定义域
,它的零点组成的集合是
,
的定义域
,它的零点组成的集合是
，则函数
零点组成的集合是 （答案用
、
、
、
的集合运算来表示）

13、已知定义在R上的函数
对任意的
都满足
，当
时，
，若函数
只有4个零点，则
取值范围是 ．

14、已知函数
，任取
，定义集合:

. 设
分别表示集合
中元素的最大值和最小值，记
.则 (1) 若函数
，则
=

若函数
，则
的最大值为

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15、空间过一点作已知直线的平行线的条数………………………………………（ ）

（A）0条 （B）1条 （C）无数条 （D）0或1条

16、设
是
上的任意函数，则下列叙述正确的是……………………………………（ ）

（A）
是奇函数 （B）
是奇函数

（C）
是偶函数 （D）
是偶函数

椭圆
的内接三角形
（顶点
、
、
都在椭圆上）的边
分别过椭圆的焦点
和
，则
周长……………（ ）

（A）总大于
（B）总等于

（C）总小于
（D）与
的大小不确定

18、**设双曲线
上动点
到定点
的距离的最小值为
，则
的值为……………………………………………………………………………………（ ）

（A）
（B）
（C） 0 （D）1

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19、如图，正三棱锥
中，底面
的边长为2，正三棱锥
的体积为
，
为线段
的中点，求直线
与平面
所成的角（结果用反三角函数值表示）。（12分）

20、已知函数
．

（1）求方程
的解集；（8分）

（2）当
，求函数
的值域。（6分）

21、在直角坐标系
中，点
到两点
的距离之和等于4，设点
的轨迹为
，直线
与
交于
两点．

（1）线段
的长是3，求实数
；（9分）

（2）若点
在第四象限，当
时，判断|
|与|
|的大小，并证明（5分）

22、投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得10~1000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金
（单位：万元）随投资收益
（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于
万元，同时不超过投资收益的
.

（1）设奖励方案的函数模型为
，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型
的基本要求；(4分）

（2）公司预设的一个奖励方案的函数模型：
；试分析这个函数模型是否符合公司要求；（6分）

（3）求证：函数模型
是符合公司的一个奖励方案（6分）。

23、已知数列
的各项均不为零，
，且对任意
，都有
．

（1）设
若数列
是等差数列，求
；（5分）

（2）设
当
时，求证：
是一个常数；（6分）

（3）当
时，求数列
的通项公式（7分）

2013学年奉贤区调研测试

高三数学试卷（理科）参考答案

填空题 (本大题满分56分）

2.
3.
4.

6.
7.
8.

10. 3 11.
12.

13.
14. (1) 2 (2) 2

二．选择题（本大题满分20分）

15. D 16. D 17. C 18. A

解答题（本大题满分74分）

19. 如图，连接AM，过点P作PH垂直于AM于H

正三棱锥P—ABC中

3分

又PH为平面PMA中的一条直线知

由
且
知
5分

为直线PM与平面ABC所成的角（或其补角） 6分

因为正三棱锥
底面
的边长为2，体积为

所以由
知
8分

，所以
9分

中
11分

得
，

故直线
与平面
所成的角为
（或
或
） 12分

20. （1）解法一：由
，得
1分

由
，得
，
（
） 4分

由
，

得
，
，
（
）． 7分

所以方程
的解集为
8分

解法二：
4分

由
，得
，
，
，

所以方程
的解集为
8分

（2）

因为
所以
所以
12分

所以
14分

21. 解：（1）设
，由椭圆定义可知，点
的轨迹
是以
为焦点，长半轴为2的椭圆， 2分

， 3分

故曲线
的方程为
． 4分

设
，其坐标满足

消去
并整理得
， 5分

6分

8分

，
9分

（2）
10分

12分

因为A在第四象限，故
．由
知
，

从而
．又
， 13分

故
，即在题设条件下，恒有
14分

22. 解：（1）由题意知，公司对奖励方案的函数模型
的基本要求是：

当
时，

①
是增函数；②
恒成立；③
恒成立 4分

（2）对于函数模型
：

当
时，
是增函数， 5分

则
显然恒成立 6分

而若使函数
在
上恒成立，整理即
恒成立，

而
， 8分

∴
不恒成立． 9分

故该函数模型不符合公司要求． 10分

（3）对于函数模型

时，
显然单调递增 11分

成立．

∴
恒成立． 12分

方法一（分析法）：

欲证：
时，
恒成立

等价于
，
恒成立

等价于
恒成立 （***） 13分

又
在
单调递增

故

，所以（***） 成立 14分

所以
时，
恒成立 15分

符合公司的模型 16分

方法二：

设
，

=

单调递增

，所以

单调递减 14分

恒成立

恒成立 15分

符合公司的模型 16分

23. 解：(1) 由题意得：
1分

2分

3分

5分

（2）计算
，
，猜想
7分

欲证明
恒成立

只需要证明
恒成立

即要证明
恒成立

即要证明
恒成立 （***） 9分

10分

（***）左边=

（***）右边=

所以(***)成立 11分

方法二：计算
，
，猜想
7分

9分

由于
，上式两边同除以
，

得

所以，
11分

所以
是常数 11分

（3）计算
，
，

类比猜想
12分

由于
，上式两边同除以
，

得

所以，

所以
是常数 13分

所以
14分

猜想
15分

用数学归纳法证明：

假设

则

17分

所以对一切
18分