北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2014.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，
，则集合
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





2．已知命题：“
，
”，那么
是（ ）



　（A）
，
，

（B）
，



　（C）
，

（D）
，





3．在平面直角坐标系
中，点
，
，若向量
，则实数
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





4．若坐标原点在圆
的内部，则实数m的取值范围是（ ）



　（A）

（B）



　（C）

（D）





5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

6． 若曲线
为焦点在轴上的椭圆，则实数,
满足（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）





7．定义域为R的函数
满足
，且当
时，
，则当
时，
的最小值为（ ）



（A）

（B）

 （C）

（D）





8.在平面直角坐标系
中，记不等式组
所表示的平面区域为. 在映射
的作用下，区域内的点
对应的象为点
，则由点
所形成的平面区域的面积为（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知复数z满足
，那么
______．

10．在等差数列
中，
，
，则公差
______；前17项的和
______．

11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若
，
，
，

则
______；
______．

13．设函数
　则
______；若函数
存在两个零点，则实数
的取值范围是______．

14．设
为平面直角坐标系
内的点集，若对于任意
，存在
，使得
，则称点集
满足性质. 给出下列三个点集：


；


；


.

其中所有满足性质的点集的序号是______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
，
，且
的最小正周期为.

（Ⅰ）若
，
，求的值；

（Ⅱ）求函数
的单调增区间.

16．（本小题满分13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．

（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；

（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；

（Ⅲ）当
时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．

17．（本小题满分14分）

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）求证：平面BDGH//平面AEF；

（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积.

18．（本小题满分13分）

已知函数
，其中是自然对数的底数，
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最小值.

19．（本小题满分14分）

已知
是抛物线
上的两个点，点的坐标为
，直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线
的下方.

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设C为W上一点，且
，过
两点分别作W的切线，记两切线的交点为. 判断四边形
是否为梯形，并说明理由.

20．（本小题满分13分）

设无穷等比数列
的公比为q，且
，
表示不超过实数
的最大整数（如
）,记
，数列
的前项和为
，数列
的前项和为
.

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）证明：
（
）的充分必要条件为
；

（Ⅲ）若对于任意不超过
的正整数n，都有
，证明：
.

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2014.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．D 3．A 4．C

5．B 6．C 7．A 8．C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11．
12．

13．

14．

注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分，少选得2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为
的最小正周期为，

所以
，解得
． ……………… 3分

由
，得
，

即
， ……………… 4分

所以
，
.

因为
，

所以
. ……………… 6分

（Ⅱ）解：函数

……………… 8分

， ………………10分

由
， ………………11分

解得
． ………………12分

所以函数
的单调增区间为
.…………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，得
， ……………… 3分

解得
. ……………… 4分

（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件， ……………… 5分

依题意
，共有10种可能. ……………… 6分

由（Ⅰ）可知，当
时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，

所以当
时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 7分

所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率
． ……………… 8分

（Ⅲ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件，………… 9分

当
时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有
种， 它们是：
，
，
，
，
，
，
，
，
， ………………10分

所以事件的结果有7种，它们是：
，
，
，
，
，
，
. ……………… 11分

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率
.

………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为四边形
是正方形，

所以
. ……………… 1分

又因为平面
平面
，平面
平面
，

且
平面
，

所以
平面
. ……………… 4分

（Ⅱ）证明：在
中，因为
分别是
的中点，

所以
，

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………… 6分

设
，连接
，

在
中，因为
，
，

所以
，

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………… 8分

又因为
，
平面
，

所以平面
平面
. ………………10分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得
平面
，

又因为
，四边形
的面积
，……………11分

所以四棱锥
的体积
. ………………12分

同理，四棱锥
的体积
.

所以多面体
的体积
. ………………14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为
，
，

所以
． ……………… 2分

令
，得
． ……………… 3分

当变化时，
和
的变化情况如下：





















↘



↗



……………… 5分

故
的单调减区间为
；单调增区间为
．………… 6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得
的单调减区间为
；单调增区间为
．

所以当
，即
时，
在
上单调递增，

故
在
上的最小值为
； ……………… 8分

当
，即
时，

在
上单调递减，
在
上单调递增，

故
在
上的最小值为
；………………10分

当
，即
时，
在
上单调递减，

故
在
上的最小值为
. ………………12分

所以函数
在
上的最小值为
……13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：抛物线
的焦点为
. ……………… 1分

由题意，得直线
的方程为
， ……………… 2分

令
，得
，即直线
与y轴相交于点
. ……………… 3分

因为抛物线
的焦点在直线
的下方，

所以
，

解得
.

因为
，

所以
. ……………… 5分

（Ⅱ）解：结论：四边形
不可能为梯形. ……………… 6分

理由如下：

假设四边形
为梯形. ……………… 7分

由题意，设
，
，
，

联立方程

消去y，得
，

由韦达定理，得
，所以
. ……………… 8分

同理，得
. ……………… 9分

对函数
求导，得
，

所以抛物线
在点处的切线
的斜率为
， ……………… 10分

抛物线
在点
处的切线
的斜率为
. ………………11分

由四边形
为梯形，得
或
.

若
，则
，即
，

因为方程
无解，所以
与
不平行. ………………12分

若
，则
，即
，

因为方程
无解，所以
与
不平行. ……………13分

所以四边形
不是梯形，与假设矛盾.

因此四边形
不可能为梯形. ……………14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为等比数列
的
，
，

所以
，
，
. ……………… 1分

所以
，
，
. ……………… 2分

则
. ……………… 3分

（Ⅱ）证明：（充分性）因为
，

所以
对一切正整数n都成立.

因为
，
，

所以
. ……………… 5分

（必要性）因为对于任意的
，
，

当
时，由
，得
； ……………… 6分

当
时，由
，
，得
.

所以对一切正整数n都有
. ……………… 7分

因为
，
，

所以对一切正整数n都有
. ……………… 8分

（Ⅲ）证明：因为
，

所以
，
. ……………… 9分

因为
，

所以
，
. ………………10分

由
，得
. ………………11分

因为
，

所以
，

所以
，即
. ………………13分