上海市长宁区2014届高三上学期期末教学质量检测（一模）数学（文）试题

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1、设
是上的奇函数，当
时，
，则

2、已知复数
，
，则
．

3、已知函数
的图像关于直线
对称，则

4、已知命题
，命题
，若是的充分不必要条件，则实数的范围是 .

5、数列
满足
，则
.

6、一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 .

7、设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－
］上单调递增，则ω的取值范围是_________.

8、不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共10只，从中任意摸出一只小球得到是黑球的概率为
．则从中任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为 ．

9、若
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．

10、函数f (x)=-
对任意实数有
成立，若当
时
恒成立，则
的取值范围是_________.

11、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是，b，c.若
，
，则角＝

12、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，
,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则

13、已知数列
都是公差为1的等差数列,其首项分别为
,且

设
则数列
的前10项和等于______.

14、设a为非零实数，偶函数
(x(R)在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a的取值范围是 .

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15、下列命题中，错误的是 ( )

A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交

B.平行于同一平面的两个不同平面平行

C.如果平面不垂直平面
，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

D.若直线
不平行平面，则在平面内不存在与
平行的直线

16、已知
，不等式
的解集为，且
，则的取值范围是( ).
.

.
或
.
或

17、已知△ABC为等边三角形,
,设点P,Q满足
,
,
,若
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

18、函数
的定义域为
，值域为
，变动时，方程
表示的图形可

以是 （ ）



A． B． C． D．

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．

19.（本题满分12分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分6分）

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，M、E分别是
和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.

(1)求证：BB1∥平面EFM；

(2)求四面体
的体积。

20.（本题满分14分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分8分）

在
中,已知
.

(1)求证
;

（2）若
，求
的值。

21.（本题满分14分，其中（1）小题满分7分，（2）小题满分7分）

上海某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求
），为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是
元.

(1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

22、（本题满分16分，其中（1）小题满分4分，（2）小题满分6分，（3）小题满分6分）

已知函数
为奇函数.

（1）求常数的值；

（2）判断函数的单调性，并说明理由；

（3）函数
的图象由函数
的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出
的一个对称中心，若
，求
的值。

23、（本题满分18分，其中（1）小题满分4分，（2）小题满分6分，（3）小题满分8分）

设二次函数
，对任意实数，有
恒成立；数列
满足
.

（1）求函数
的解析式和值域；

（2）证明：当
时，数列
在该区间上是递增数列；

（3）已知
，是否存在非零整数
，使得对任意
，都有

恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

答案

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、
2、
3、
4、
5、
6、

7、
8、
9、
10、

11、
12、
13、
14、

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、D 16、D 17、A 18、B

三、解答题

19、解析：(1)证明：连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，

∴BB1∥ME， …………3分

又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM. …………6分

（2）正三棱柱中
，由（1）
，所以
，

…………8分

根据条件得出
，所以
，…………10分

又
，因此
。 …………12分

20、(1)∵
,∴
,

即
. …………2分

由正弦定理,得
,∴
. …………4分

又∵
,∴
.∴
即
.

…………6分

(2)

，由（1）得
，…………8分

因此
…………10分

=
…………14分

21、解：(1)根据题意，
…………4分

又
，可解得
…………6分

因此，所求的取值范围是
…………7分

(2)设利润为元，则
…………11分

故
时，
元． …………13分

因此该工厂应该以每小时6千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为457500元。

…………14分

22、解： (1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由
，得

，所以
。 …………2分

这时
满足
，函数为奇函数，因此

…………4分

（2）函数为单调递减函数.

法一用单调性定义证明；

法二：利用已有函数的单调性加以说明。

在
上单调递增，因此
单调递增，又
在
及
上单调递减，因此函数
在
及
上单调递减；

法三：函数定义域为
，说明函数在
上单调递减，因为函数为奇函数，因此函数在
上也是单调递减，因此函数
在
及
上单调递减。

…………10分

（本题根据具体情况对照给分）

（3）因为函数
为奇函数，因此其图像关于坐标原点（0,0）对称，根据条件得到函数
的一个对称中心为
， …………13分

因此有
，因为
，因此
…………16分

23、解：解析：（1）由
恒成立等价于
恒成立，

从而得：
，化简得
，从而得
，所以
，

…………3分

其值域为
. …………4分

（2）解：

…………6分

， …………8分

从而得
，即
，所以数列
在区间
上是递增数列.

…………10分

（3）由（2）知
，从而
；

，即
；

…………12分

令
，则有
且
；

从而有
，可得
，所以数列
是
为首项，公比为的等比数列，

从而得
，即
，

所以
，

所以
，所以
，

所以，

.

即


，所以，
恒成立。

…………15分

当为奇数时，即
恒成立，当且仅当
时，
有最小值为。

…………16分

当为偶数时，即
恒成立，当且仅当
时，有最大值
为。

…………17分

所以，对任意
，有
。又
非零整数，

…………18分