松江区2013学年度第一学期高三期末考试

数学（理科）试卷

（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.1

一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若函数

的反函数为
，则
▲ ．

2．若
，则
▲ ．

3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：
，
，
，
，
，则这组数据的方差为 ▲ ．

4．如图，正六边形
的边长为，则
▲ ．

5．已知
为等差数列，其前项和为
．若
，
，
，则
▲ ．

6．将直线
：
绕着点
按逆时针方向旋转
后得到直线
，则
的方程为 ▲ ．

7．执行如图所示的程序框图，输出的
= ▲ ．

8．记
的展开式中含
项的系数，则
▲ ．

9．若圆
和曲线
恰有六个公共点，则的值是 ▲ ．

10．从
中随机选取一个数，从
中随机选取一个数
，则关于的方程
有两个虚根的概率是 ▲ ．

11．对于任意实数，
表示不小于的最小整数，如
．定义在上的函数
，若集合
，则集合中所有元素的和为 ▲ ．

12．设
是双曲线
的两个焦点，是
上一点，若
，且
的最小内角为
，则
的渐近线方程为 ▲ ．

13．已知函数
，若
，

且

，则
▲ ．

14．设集合
，若
且
，记
为中元素的最大值与最小值之和，则对所有的，
的平均值= ▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为

A ．25 B．26 C．27 D．以上都不是

16．已知
，且
，则下列不等式中，正确的是

A．
B．
C．
D．

17．已知函数
的图像关于直线
对称，则
的单调递增区间为

A．
B．

C．
D．

18．已知实数
，对于定义在上的函数
，有下述命题：

①“
是奇函数”的充要条件是“函数
的图像关于点
对称”；

②“
是偶函数”的充要条件是“函数
的图像关于直线
对称”；

③“
是
的一个周期”的充要条件是“对任意的
，都有
”；

④ “函数
与
的图像关于轴对称”的充要条件是“
”

其中正确命题的序号是

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分

已知集合
，

(1)当
时，求集合
；

⑵若
，求实数的取值范围．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

过椭圆
的左焦点
的直线
交椭圆于、两点．

⑴求
的范围；

⑵若
，求直线
的方程．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区．若在A地北偏东
方向，距A地
海里处的
点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．

⑴求A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程；

⑵问：

①应派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到
小时）

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

已知函数
．

⑴若
，解方程
；

⑵若函数
在上单调递增，求实数的取值范围；

⑶是否存在实数，使不等式
对一切实数
恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于数列
：
，若不改变
，仅改变
中部分项的符号，得到的新数列
称为数列
的一个生成数列．如仅改变数列
的第二、三项的符号可以得到一个生成数列
．

已知数列
为数列
的生成数列，
为数列
的前项和．

⑴写出
的所有可能值；

⑵若生成数列
满足：
，求
的通项公式；

⑶证明：对于给定的
，
的所有可能值组成的集合为：

．

松江区2013学年度第一学期高三期末考试

数学（理科）试卷参考答案

2014.1

一、填空题

1． 3 2． 1

3．0.032 4．

5．8 6．

7．102 8． 2

9． 3 10．

11．-4 12．

13．2 14．

二、选择题

15．B 16． C 17．A 18．A

三、解答题

19．解：

(1)由
, 得
，所以
…… 2分

当
时,

,……………………… 4分

∴
……………………… 6分

(2)
, ∴
， ………………………7分

若
，则
, ……………………… 8分

∴
即
………………………12 分

20．

解：（1）易知
∴
， ……………1分

设
，则
……………………… 3分

∵

∴
………………5分

∵
∴
， ……………………… 6分

(2)设、两点的坐标为
、

①当
平行于轴时，点
、
，此时
……8分

②当
不平行于轴时，设直线
的斜率为
，则直线
方程为
，

由
得
………………… 9分

，
………………… 11分

=

得
，
………… 13分

故所求的直线方程为
………… 14分

21．

解：⑴设点为边界线上的点，由题意知
，即
，

即动点到两定点、的距离之差为常数，

∴点的轨迹是双曲线中的一支。 ……… …………… 3分

由
得
，

∴方程为
（
） ………………… 6分

⑵①
点的坐标为
，点的坐标为
，点的坐标为
，∴
，
，
，∴点
在A区，又遇险船向正北方向漂移，，即遇险船始终在A区内，∴应派A船前往救援 …………………8分

②设经小时后，A救援船在点
处与遇险船相遇。在
中，
，
………………… 9分

∴

整理得
，

解得
或
（舍） ………………… 13分

∴A救援船需
小时后才能与遇险船相遇． …………………14分

22．

解：（1）当
时，
, 故有,

, …………………2分

当
时，由
，有
，解得
或
…………………3分

当
时，
恒成立 …………………4分

∴ 方程的解集为
…………………5分

（2）
, …………………7分

若
在上单调递增，则有

， 解得，
…………………9分

∴ 当
时，
在上单调递增 ……………10分

（3）设

则
…………………11分

不等式
对一切实数
恒成立，等价于不等式
对一切实数
恒成立．

①若
，则
，即
，取
，此时

，

即对任意的
，总能找到
，使得
，

∴不存在
，使得
恒成立． …………………12分

②若
，
，
值域
，

所以
恒成立． …………………13分

③若
，

当
时，
单调递减，其值域为
，

由于
，所以
成立．

当
时，由
，知
，
在
处取最小值，

令
，得
，又
，所以
……15分

综上，
. …………………16分

23．

（1）由已知，
，
，

∴
……………………………………2分

由于

∴
可能值为
． …………………4分

（2）∵
，

当
时，
， …………………5分

当
时，
……6分

∵
是
的生成数列

∴
；
；
；

∴
……8分

在以上各种组合中，

当且仅当
时，才成立。……………9分

∴
………………10分

（3）证法一：用数学归纳法证明：

①
时，
，命题成立。 ………………………………11分

②假设
时命题成立，即
所有可能值集合为：

由假设，
=
………………………………13分

则当
，

………………………………15分

即
或

即

∴
时，命题成立 ……17分

由①②，
，
所有可能值集合为
。……18分

证法二：

共有
种情形。

即
………………………………12分

又
，分子必是奇数，满足条件
的奇数共有
个。 ………………………………14分

设数列
与数列
为两个生成数列，数列
的前项和
，数列
的前项和
，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第
项。

由于
，不妨设
，则

所以，只有当数列
与数列
的前项完全相同时，才有
。……………16分

∴
共有
种情形，其值各不相同。

∴
可能值必恰为
，共
个。

即
所有可能值集合为
…………………………18分