福建省福州市八县2014届高三上学期期末考试

数学（理）试题

（满分：150分；完卷时间：120分钟）

注意事项：

1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内

填写学校、班级、准考证号、姓名；

2.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间

120分钟。

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只

有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1.已知全集U=R，集合A＝{1,2,3,4,5｝,B＝[3，十
），则图中阴影部分所表示的集合

为

A. {0，1，2}　 B. {0，1}，

C. {1，2}　 　　D.｛1｝

　2、设a是实数，若复数
（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则a的值为

A、－1 　　　B.0 　　　　　 C.1 　　　　 　　　D.2

　3.设
则a，b，c的大小关系为

A. a＜c＜b 　　　　B. b＜a＜c

C. a＜b＜c 　　　　D. b＜c＜a

4.阅读右边程序框图，为使输出的数据为30，则判断框中应填

人的条件为

A.i≤4　　　　　　 B. i≤5`　　　　C. i≤6 　　　　　　D. i≤7

5.将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容

量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第

一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为

A.20，15，15 　　B.20，16，14 　　C.12，14，16 　　　D.21，15，14

6.
的展开式中，二次式系数最大的项是

A.20x3　　　　　　 B.15x2　　　　　　　　 C.15 x4　　　　　　　　　　　　D. x6

7.已知函数
的图像在点A(l,f(1))处的切线l与直线x十3y＋2＝0垂直，

若数列
的前n项和为Sp，则S2013的值为

8.若实数
，则函数f（x）＝2sinx十acosx的图象的一条对称轴方程为

　

9.如图，△ABC中，∠C =90°，且AC＝BC＝4，点M满足
，

则
＝

A.2 　　　　　　　　B.3 　　　　　　　

C.4 　　　　　　　　D.6

10.已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为

11.如图，偶函数f(x)的图像形如字母M,奇函数g（x）的图像形如字母N，若方程

的实根个数分别为a，b，c，d，则a＋b＋c＋d＝

A.27 　　　　　　　　B.30 　　

C.33　　　　　　　　 D.36

12.已知函数f（x十1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数
，不等式
恒成立，则不等式f（1－x）<0的解集为

A.（1，＋
）　　B.（一
，0）　　C.（0，＋
）　　D（一
，1）

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上）

13.在平面直角坐标系中，不等式组
所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值

为＿＿＿＿．

14.在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数
的图像交于P、Q

两点，则线段PQ长的最小值是＿＿＿＿

15、如右图，三角形数阵满足：

（1)第n行首尾两数均为n;

(2）表中的递推关系类似杨辉三角4

则第n行（n≥2 )第2个数是＿＿＿＿．

16.给出下列命题：

①“x＝一1”是“x2一5x一6＝0”的必要不充分条件；

　 ②在△ABC中，已知
;

　 ③在边长为1的正方形ABCD内随机取一点M，MA＜1的概率为于

④若命题p是：:对任意的
，都有sinx≤1,则
为：存在
,使得sinx > 1.

其中所有真命题的序号是＿＿＿＿

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）

17.（本小题满分12分）

已知
，函数

（I）求方程g(x)＝0的解集；

（B）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区

18.（本小题满分12分）

在数列
中，

　（I）证明
是等比数列，并求
的通项公式；

（n）求
的前n项和Sn

19.（本小题满分12分）

为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公

共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：

①租用时间不超过1小时，免费；

②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；

③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；

④租用时间超过3小时的时段，按每小时2元收费（不足1小时的部分按1小时计算）

已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设

甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0. 4和0. 5 ;租用时间为1小时以上且不超过2

小时的概率分别是0.5和0.3.

（I）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；

（11）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量
，求
的分布列和数学期望E

20.（本小题满分12分）

某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该

产品x(百台），其总成本为g(x)万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收人r(x)

满足

假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：

（I）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？

（B）工厂生产多少台产品时盈利最大？

21.（本小题满分12分）

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（一3,0)，一条渐近线的方程是

（I）求双曲线C的方程；

（11）若以k（k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA的

垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求k的取值范围。

22.（本小题满分14分）

已知函数

（I）当a＝2时，求函数y＝f(x)的图象在x=0处的切线方程；

（II）判断函数f(x)的单调性；

　（III) 求证：

参考答案

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1. C 2. B 3. B 4．A 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10．C 11. B

12. B

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．）

13．1 14．
15．
16.．②③④

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）

17．（本小题满分12分）

解: (Ⅰ)
2分

由
得
即
5分

故方程
＝0的解集为
6分

(Ⅱ)
7分

9分

∴函数
的最小周期
10分

由
得

故函数
的单调增区间为
.（ 开区间也可以）

12分

18. （本小题满分12分）

解:(Ⅰ)

2分

4分

6分

(Ⅱ)
……① 7分

……② 8分

①-② 得：
9分

10分

12分

19. （本小题满分12分）

.解：(Ⅰ)根据题意，

分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件
，它们彼此互斥，

且

分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件
，它们彼此互斥，

且
2分

由题知，
与
相互独立， ３分

记甲、乙两人所扣积分相同为事件
，则

所以

６分

(Ⅱ) 据题意
的可能取值为：
7分

10分

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4



P

0.2

0.37

0.28

0.13

0.02




的数学期望
11分

答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.37，
的数学期望
12分

20．（本小题满分12分）

解：依题意得
，设利润函数为
，则
，

所以
2分

（I）要使工厂有盈利，则有f(x)＞0，因为

f(x)＞0?
， 4分

?
?

?
或
， 6分

即
. 7分

所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． 8分

（II）当
时，

故当x＝6时，f(x)有最大值4.5. 10分

而当x＞7时，
.

所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． 12分

21. （本小题满分12分）

解：（I）设双曲线
的方程为
， 1分

由题设得
2分

解得
， 3分

所以双曲线
的方程为
； 4分

（II）设直线
的方程为
，点
，
的坐标满足方程组
，将①式代入②式，得
，

整理得
， 6分

此方程有两个不等实根，于是
，

且
，

整理得
.③ 7分

由根与系数的关系可知线段
的中点坐标
满足：

，
， 8分

从而线段
的垂直平分线的方程为
， 9分

此直线与
轴，
轴的交点坐标分别为
，
，

由题设可得
，整理得
，
，

10分

将上式代入③式得
， 11分

整理得
，
，解得
或
，

所以
的取值范围是
． 12分

22. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）当
时，
，

∴
， 1分

∴
，所以所求的切线的斜率为3. 2分

又∵
，所以切点为
. 3分

故所求的切线方程为：
. 4分

（Ⅱ）∵

，

∴
． ６分

①当
时，∵
，∴
； ７分

②当
时，

由
，得
；由
，得
； ８分

综上，当
时，函数
在
单调递增；

当
时，函数
在
单调递减，在
上单调递增． ９分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当
时，

在
上单调递增． 10分

∴　当
时，
，即
． 11分

令
（
），则
． 12分

另一方面，∵
，即
,

∴　
． 13分

∴　
（
）． 14分

方法二：构造函数
，
10分

∴
， 11分

∴当
时,
；

∴函数
在
单调递增． 12分

∴函数
，即

∴
，
，即
13分

令
（
），则有
． 14分