扬州市2014届高三上学期期末考试

数学试题

一、填空题（70分）

1、设集合

2、在复平面内，复数
对应的点位于第＿＿象限

3、在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，则从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是＿＿＿＿

4、某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)后得到频率分布直方图（如图），则分数在［70,80）内的人数是＿＿＿＿

5、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的i的值是＿＿＿

6、已知x，y满足约束条件
，则z＝3x＋4y的最小值是＿＿＿＿

7、圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4），B（0，－2），则圆C的方程为＿＿＿＿＿＿

8、函数
的单调递增区间是＿＿＿＿＿

9、设Sn是等比数列
的前n项和，若
的值是＿＿＿＿

10、正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球（正六棱柱的顶点都在此球面上）的表面积为＿＿＿

11、已知F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，则点M在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线离心率为＿＿＿

12、已知
是单位向量，
的最大值是＿＿＿

13、已知数列的
的前n项和Sn，若
都是等差数列，则
的最小值是＿＿＿

14、已知函数f（x）＝
，若函数y＝f［f（x）］＋1有4个零点，则实数t的取值范围是＿＿＿

二、解答题（90分）

15、（本题满分14分）

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，向量

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC的面积为10
，b＝7，求此三角形的周长

16、（本题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点。

（1）求证：BD⊥EF；

（2）若EF∥平面PBD，求
的值。

17、（本题满分15分）

从旅游景点A到B有一条100公里的水路，某轮船公司开设一个观光项目，已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮速度为10km/h，燃料费用为每小时60元，若单程票价定为150元/人。

（1）一艘游轮单程以40km/h航行，所载游客为180人，轮船公司获得的利润是多少？

（2）如果轮船公司要获取最大利润，游轮的速度为多少？

18、（本题满分15分）

已知函数

（1）当b＝0时，求函数h（x）＝f（x）－g（x）的最值。

　　（2）若b是正整数，且
对任意
恒成立，试求b的值及a的取值范围。

19、（本题满分16分）

已知椭圆
的右焦点F（c，0），抛物线
的焦点为G，椭圆K1与抛物线K2在第一象限的交点为M，若抛物线K2在点M处的切线l经过椭圆K1的右焦点，且与y轴交于点D。

（1）若点M（2,1），求c；

（2）求a、c、p的关系式；

（2）试问△MDG能否为正三角形？若能请求出椭圆的离心率，若不能请说明理由。

20、（本题满分16分）

数列
，设数列

的前n项和分别为An和Bn。

（1）若数列
是等差数列，求An和Bn；

（2）若数列
是公比
为等比数列：

①求A2013；

②是否存在实数m，使
对任意自然数
都成立，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由。