一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）

1.已知全集
,集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．复数
=（　　）

A.
B.-
C.
i D.-
i

3.若
，则
的值为 ( )

A．
B．
C．
D．

4.设点A（-2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（ ）

A.(-∞，-
]∪[
，+∞) B.(-∞，-
]∪[
，+∞)

C.[-
，
] D.(-
，
)

5．椭圆
的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点，则椭圆的离心率为（　　）

A.



B.



C.



D.





6．△ABC中，点P满足
，则△ABC一定是（　）

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形

7.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，
，则线段AB的中点到y轴的距离为 （ ）

A．
B．1 C．
D．

8.已知圆
,圆
,
分别是圆
上的动点,为轴上的动点,则
的最小值为（　　）

A．
B．
C．
D．

9．函数
的一段图象是（　　）

A．



B．



C．



D．





10．已知定义在R上的奇函数
和偶函数
满足
且
，若
，则
( )

A.2 B.
C.
D.

11. 已知双曲线
的左，右焦点分别为
,过
的直线分别交双曲线的两条渐近线于点
.若点P是线段
的中点，且
,则此双曲线的渐近线方程为 ( )

A．
B．
C．
D．

12．已如点M（1，0）及双曲线
的右支上两动点A，B，当∠AMB最大时，它的余弦值为（　　）

A．

﹣

B．



C．

﹣

D．





二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. ）

13．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，实数a的取值范围是　　　.

14.当
时,函数f(x)=log
的图象恒过定点A,若点A在直线mx-y+n=0上,则
的最小值是 .

15．已知三棱锥
的各顶点均在一个半径为的球面上，球心
在
上，
平面
，
，则三棱锥与球的体积之比是

16．数列
的前80项的和等于　

三、解答题（共6个题， 共70分）

17.（本题10分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）求数列
的前n项和．

18.（本题12分）在
ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
.

（1）求
的值；

（2）若cosB=
，b=2, 求△ABC的面积S.

19.（本题12分） 已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，求证：AQ⊥BQ.

20.（本题12分）如图,三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧棱与底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中点.

(Ⅰ)求证:A1B∥平面AMC1;

(Ⅱ)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值;

(Ⅲ)试问:在棱A1B1上是否存在点N,使AN与MC1成角60°?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.

21、（本题12分）已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线
与椭圆C相交于A、B两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求
的取值范围；

（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

22．（本题12分）已知函数
的最大值为0，其中
。

（1）求
的值；

（2）若对任意
，有
成立，求实数
的最大值；

（3）证明：

高三月考五理科数学答案 2013.12

13. －2≤a≤4 14.
15
16 70
　

17(Ⅰ)设等差数列
的公差为
，
由已知条件可得
故数列
的通项公式为
……4分

（Ⅱ）设数列
的前项和为
，即
=
故
=1，

.所以，当＞1时，
=
-

=
=
=
，所以
=

综上，数列
的前项和
=
. ……10分

.

由
可得

即
，则
，

由正弦定理可得
.

（Ⅱ）由
及
可得

则
，
，

S
，即

20.【答案】证明:(Ⅰ)连接A1C,交AC1于点O,连接OM.

∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱, ∴四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.

又∵M为BC中点, ∴OM为△A1BC中位线, ∴A1B∥OM,

∵OM?平面AMC1,A1B?平面AMC1, 所以 A1B∥平面AMC1.

解:(Ⅱ)由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,

故BA,BC,BB1两两垂直.可建立如图空间直角坐标系B﹣xyz.

设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),M(1,0,0).

则
=(1,﹣2,0),
=(2,﹣2,1),

设平面AMC1的法向量为
=(x,y,z),则有

,即

所以取y=1,得
=(2,1,﹣2).

又∵
=(0,0,1)

∴直线CC1与平面AMC1所成角θ满足 sinθ=
=

故直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值为

解:(Ⅲ)假设存在满足条件的点N.

∵N在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),

故可设N(0,λ,1),其中0≤λ≤2.

∴
=(0,λ﹣2,1),
=(1,0,1).

∵AN与MC1成60°角,

∴
=
=
.

即,解得λ=1,或λ=3(舍去).

所以当点N为线段A1B1中点时,AN与MC1成60°角.

21.(1)解：由题意知
，∴
，即
又
，∴
故椭圆的方程为
3分

(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为
由
得：
4分由
得：
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则
　　① 6分∴


22.解：（1）f(x)定义域为（-a,+∞）

,由
=0，得x=1-a>-a. …………………1分

当x变化时，
，f(x)变化情况如下

x

(-a,1-a)

1-a

(1-a, +∞)





+

0

-



f(x)

增

极大值

减



因此，f(x)在 x=1-a处取得最大值，故f(1-a)=a-1=0,所以a=1. ………………4分

（2）
…………5分

当k<0时，

，因此g(x)在（0，+∞）单调递增

从而对任意的x [0,+∞
，总有g(x)≥g(0)=0,即
≥
在[0,+∞
恒成立。

故
符合题意。………………………………………………7分

综上，k的最大值为-
.……………………………………………9分