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揭阳市2013-2014学年度高中三年级学业水平考试

数学(文科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：棱锥的体积公式：
．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在复平面内，复数
对应的点位于

A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合
，则下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.

3. “
”是“函数
为奇函数的”

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 向量
则

A.
B.
C.
D.

类别

粮食类

植物油类

动物性食品类

果蔬类



种数

40

10

30

20



5. 某商场有四类食品,食品类别和种数见

右表:现从中抽取一个容量为20的样本

进行食品安全检测.若采用分层抽样的

方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

6. 方程
的解所在的区间

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

7. 若双曲线
的离心率为
，则其渐近线的斜率为

A.
B.
C.
D.

8. 已知
、
满足约束条件
则
的最小值为

A.17 B. -11 C.11 D.-17

9. 图（1）中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画

出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为.

A.4 B.8 C.16 D.20

10. 已知函数
有3个零点，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11－13题）

11. 计算：
．

12. 图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个

数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．

13．对于正整数
，若
,当
最小时，则称
为
的“最佳分解”，规定
．关于
有下列四个判断：①
；②
；③
；

④
．其中正确的序号是 ．

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知点
为方程
所表示的曲线上一动点，
，则
的最小值为 ．

15．(几何证明选讲选做题) 如图（3），已知AB是圆O的直径，

C是AB延长线上一点，CD切圆O于D，CD=4，AB=3BC，则

圆O的半径长是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

设数列
是公比为正数的等比数列，
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
是首项为1，公差为2的等差数列，求数列
的前n项和
．

17. （本小题满分12分）

根据空气质量指数
（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

（数值）















空气质量级别

一级

二级

三级

四级

五级

六级



空气质量类别

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染



空气质量类别颜色

绿色

黄色

橙色

红色

紫色

褐红色



某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数
进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图

（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中

度污染的概率；

（2）在空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据中

任取2个,求至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐

红色的概率.

18．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C所对应的边为

（1）若
求A的值；

（2）若
且△ABC的面积
，求
的值.

19．（本小题满分14分）

如图（5），已知
为不在同一直线上的三点，且
，

.

(1)求证:平面
//平面
；

(2)若
平面
，且
,
,

求证：A1C丄平面AB1C1

(3)在（2）的条件下，设点P为
上的动点，求当
取得最小值时PC的长.

20.（本小题满分14分）

如图（6），已知
是椭圆
的右焦点；

与
轴交于
两点，其中
是椭圆
的左焦点.

(1)求椭圆
的离心率；

(2)设
与y轴的正半轴的交点为
，点
是点
关于y轴的对称点，

试判断直线
与
的位置关系；

(3)设直线
与
交于另一点
，若
的面积为
，求椭圆
的标准方程.

21.（本小题满分14分）

设函数

，其中
，
为正整数，a，b，c均为常数，曲线
在
处的切线方程为
.

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数
的最大值；

（3）证明：对任意的
都有
.（
为自然对数的底）

揭阳市2013-2014学年度高中三年级学业水平考试

数学（文科）参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一．选择题CC A AB CBBCD

解析：10.函数
有3个零点，须满足
，故选D.

二．填空题：11.2;12.
;13．①②；14.
；15. 3.

解析：12.设被污损的数字为x（
），则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得，
，解得
，即当x取0,1，……，7时符合题意，故所求的概率

三．解答题：

16.解：（1）设数列
的公比为
，由
，
，

得
，即
．------------------------------------------------------------3分

解得
或
，------------------------------------------------------------------------------------5分

∵
∴
不合舍去，∴
；---------------------------------------------------------6分（2）∵数列
是首项
公差
的等差数列，

∴

，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分

∴

．--------------------------------------------------------12分

17.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -----------------------------1分

所以该城市本月内空气质量类别为中度污染的概率
.----------------------------------4分

（2）由条形图知，空气质量类别颜色为紫色的数据有4个，分别设为
，空气质量类别颜色为褐红色的数据有2个，分别设为
.------------------------------------------------------6分

设从以上6个数据任取2个，至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐红色为事件A,

则基本事件有：
，
，

共15种可能，--------------------------------------------------------------------------8分

A包含的基本事件有：

，
9种可能，-------------------------10分

故所求的概率

.-------------------------------------------------------------------------------------------------12分

18.解：（1）由

得
---------------------------------------------------------------------2分

,------------------------------------------------4分

∴
-----------------------------------------------------------------------------------------------------6分

∵
∴
；-------------------------------------------------------------------------------------7分

（2）解法1：
∴

∴
------------------------------------------------------------------------------8分

由
得
，----------------------------------------------------------10分

由余弦定理得：
，∴
----------------12分

由正弦定理得：
，即

.------------------------------------------------------------------------------------------14分

【解法2：
∴

∴
------------------------------------------------------------------------------8分

由
得
，----------------------------------------------------------10分

由余弦定理得：
，∴
----------------12分

∵
，∴△ABC是Rt△，角B为直角，--------------------------------13分

．---------------------------------------------------------------------------------------------14分】

【:解法3：
∴

∴
------------------------------------------------------------------------------8分

由
得
，----------------------------------------------------------10分

由余弦定理得：
，∴
----------------12分

又
，得
，∴
.-----------------------14分】

【解法4：
∴

∴
-------------------------------------------------