第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

选择题（每小题5分，共60分）

1．设集合
=（ ）

A．{1，3} B．{2} C．{2，3} D．{3}

2. 设复数Z满足
，则||=（ ）

A．
B．
C．1 D．2

3．设
为两个不同平面，m、 n为两条不同的直线，且
有两个命题：

P：若m∥n,则∥β；q：若m⊥β, 则α⊥β. 那么（ ）

A．“p或q”是假命题 B．“p且q”是真命题

C．“非p或q”是假命题 D．“非p且q”是真命题

4. 在平面直角坐标系中，已知向量
若
，则x=( )

A．-2 B．-4 C．-3 D．-1

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=-18，S13=-52，{bn}为等比数列，且b5 =a5，b7=a7，则b15的值为（ ）

A．64 B．128 C．-64 D．-128

6．设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x>0),则不等式f(x-2)>0的解集为（ ）

A．{x|x<-2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<-2或x>2}

7．若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为（ ）

A． B． C． D．

8．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图

均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如

图，则该几何体的全面积为（ ）

A．2+3
B．2+2

C．8+5
D．6+3

9．已知命题p：函数
在（0，1）

内恰有一个零点；命题q：函数
在
上是

减函数，若p且
为真命题，则实数a的取值范围是（ ）

A．
B．a≤2 C． 12

10．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．5 B．
C．20 D．4

11．设方程lnx=-x与方程ex=-x(其中e是自然对数的底数)的所有根之和为m,则（ ）

A．m<0 B. m=0 C.01

12. 函数
对任意
的图象关于点
对称，则
（ ）

A.
B.
C.
D.0

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知关于x, y的二元一次不等式组
，则3x-y的最大值为__________

14. 曲线
和曲线
围成的图形面积是____________.

15. 如图, 在
中,
,是
边上一点,

,则
的长为 .

16．数列{an}的通项为an=(-1)n
前n项和为Sn, 则S100=_________.

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．(本小题满分12分)

已知函数f(x)=
.

（1）当
时，求
的值域；

（2）若
的内角
的对边分别为
，且满足
，

，求
的值.

18.（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，且
是
和的等差中项，等差数列
满足
，
.

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）设
，数列
的前项和为
，求
的取值范围.

19．（本小题满分12分）

在四棱锥
中，
平面
，
是正三角形，

与
的交点
恰好是
中点，又
，
，

点在线段
上，且
．

（1）求证：
；

（2）求证：
平面
;

（3）求二面角
的余弦值．

20. （本小题满分12分）

“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：

且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.

(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

21．（本小题满分12分）

已知函数
，h（x）=2alnx，
。

（1）当a∈R时，讨论函数
的单调性．

（2）是否存在实数a，对任意的
，且
，都有

恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线
经过⊙
上的点
，并且
⊙
交直线
于，，连接
．

（1）求证：直线
是⊙
的切线；

（2）若
⊙
的半径为3，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（t为参数），曲线C的参数方程为

（
为参数）。

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为
，判断点P与直线
的位置关系；

（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线
的距离的最小值与最大值。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

（1）解关于错误！未找到引用源。的不等式错误！未找到引用源。；

（2）若关于错误！未找到引用源。的不等式错误！未找到引用源。有解，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．

数学（理）参考答案

三．解答题：

17．（本小题满分12分）（1）

，
，

……………6分

（2）

∴

∵
,∴

∴数列
是一个递增数列 ∴
.

综上所述，
……………12分

19. （本小题满分12分）证明：(I) 因为
是正三角形，
是
中点，

所以
,即
……………1分

又因为
，
平面
，

又
，所以
平面

又
平面
，所以
……………4分

（Ⅱ）在正三角形
中，

在
中，因为
为
中点，
，所以

，所以
，所以
……………6分

在等腰直角三角形
中，
，
，

所以
，
，所以
分

又
平面
，
平面
，所以
平面
……………8分

（Ⅲ）因为
，

所以
，分别以
为轴, 轴,轴建立如图的空间直角坐标系，

所以

由（Ⅱ）可知，

为平面
的法向量 ………………9分

，

设平面
的一个法向量为
,

则
，即
，

令
则平面
的一个法向量为
……………11分

设二面角
的大小为， 则

所以二面角
余弦值为
……………12分

②当x∈[144,500)时，＝x＋－200≥2－200＝200.

当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.∵200<240，

∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低。 ……………12分

21． (1)
, f（x）的定义域为（0，+
……………2分

①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在在
上是增函数。

②当-2＜a≤0时，f（x）在（0，-a）上是增函数；在（-a， 2）是是减函数；在
上是增函数。

③当a=-2时，f（x）在（0，+
上是增函数。

④当a＜-2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，-a）上是减函数；在
上是增函数。 ………… 6分

（2）假设存在实数a，对任意的
，且
，都有
恒成立，不妨设0＜x1＜x2，要使
，即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1。

令g（x）=f（x）+ax=
，只要g（x）在（0，+
为增函数。

又

由题意
在（0，+
上恒成立，得a不存在。………………12分

23．选修4—4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）将点
化为直角坐标，得
，…………………………（2分）

直线
的普通方程为
，显然点不满足直线
的方程，

所以点不在直线
上．…………………………………………………（5分）

（Ⅱ）因为点
在曲线
上，故可设点
，…………………（6分）

点
到直线
：
的距离为

，…………………（8分）

所以当
时，
，

当
时，
．

故点
到直线
的距离的最小值为
，最大值为
．……………（10分）

24．选修4－5：不等式选讲