吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测

数学（理）试题命题人：刘乙? 审题人：梁清华? 黄海燕

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合
，则
等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知复数z满足
为虚数单位），则复数
所对应的点所在象限为 （ ）

A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限

3.下列说法正确的是 （ ）

A. 命题“
使得
”的否定是：“
”

B. “
”是“
在
上为增函数”的充要条件

C. “
为真命题”是“
为真命题”的必要不充分条件

D. 命题p：“
”，则p是真命题

4．等差数列
中，
，则
（ ）

A．10 B．20 C．40 D．2+log25

5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）

6.如果
是二次函数, 且
的图象开口向上,顶点坐标为(1,), 那么曲线

上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7.设函数
，则下列关于函数
的说法中正确的是 （ ）

A.
是偶函数 B.
最小正周期为π

C.
图象关于点
对称 D.
在区间
上是增函数

8.如图，长方形的四个顶点为
，曲线
经过点．现

将一质点随机投入长方形
中，则质点落在图中阴影区域的概率是 （ ）

A．
B．

C．
D．

9.已知双曲线
的两条渐近线均和圆C:
相

切,则该双曲线离心率等于 ( )

A.
B.
C.
D.

10.若a,b,c均为单位向量，a· b
，c=x a + y b
，则
的最大值是 ( )

A． B.
C．
D.

11.高为
的四棱锥
的底面是边长为1的正方形，点
、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 （ ）

A．
B.
C．
D.

12.已知定义在R上的函数
对任意的都满足
，当
时，
，若函数
至少6个零点，则取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列
的前项和为
，
，
，则
.

14.设ΔABC的三边长分别为
，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝
；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝ .

15.已知O是坐标原点，点A
，若点M
为平面区域
上的一个动点，则
的最小值是 .

16.设抛物线
的焦点为，过点
的直线
与抛物线
相交于
两点，若
，则直线
的斜率
.

三、解答题：本大题共6道题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知向量
，
，（其中
），函数
，若
相邻两对称轴间的距离为
.

(I)求的值，并求
的最大值及相应x的集合；

(Ⅱ)在
中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，
的面积
，b=4，
，求边a的长.

18．(本题满分12分)

如图，在直三棱柱
中，
，
是
中点.

（I）求证：
平面
；

（II）若棱
上存在一点
，满 足
，求
的长；

（Ⅲ）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.

19．(本题满分12分)

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵.早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．

（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？

（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？

（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

20．(本题满分12分)

已知椭圆
:

的离心率
,原点到过点
,

的直线的距离是
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)若椭圆
上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围；

(Ⅲ)如果直线
交椭圆
于不同的两点, ,且,都在以为圆心的圆上,求
的值.

21．(本题满分12分)

已知函数f（x）＝2lnx+ax2－1（a∈R）

(Ⅰ)求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若a＝1，分别解答下面两题，

（i）若不等式f（1+x）+f（1－x）＜m对任意的0＜x＜1恒成立，求m的取值范围；

（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且f（x1）+f（x2）＝0，求证x1+x2>2.

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:

如图，圆
与圆
相交于A、B两点，AB是圆
的直径，过A点作圆
的切线交圆
于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆
、圆
交于C，D两点。

求证：(Ⅰ)PA·PD=PE·PC； (Ⅱ)AD=AE.

23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

已知圆锥曲线C：

为参数）和定点
,
是此圆锥曲线的左、右焦点。

(Ⅰ)以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

求直线
的极坐标方程；

(Ⅱ)经过点
，且与直线
垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，

求
的值.

24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知函数
。

(Ⅰ)解不等式
；

(Ⅱ)若
，且
，求证：
.

吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测

(理科)答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

B

B

C

B

D

C

A

A

D

A



二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．
14．
15．
16．

三．解答题（本大题共6小题，共计70分）

17 .(I)

………………3分

由题意可得
，∴
，∴
……………4分

当
时，
的最大值为2，

此时x的集合是
……………6分

（Ⅱ）

…………………8分

. …………10分

由余弦定理得：a2=16+25－2×4×5cos
=21
……………12分

18.(I) 连接
交
于点，连接

因为
为正方形，所以为
中点，

又为
中点，所以
为
的中位线，

所以
………………2分 又
平面
，
平面

所以
平面
………………4分

（Ⅱ）以为原点，
为轴，
为轴，
为轴建立空间直角坐标系

所以

设
，所以
，

因为
，所以
，解得
，所以
. ………8分

（Ⅲ）因为
，

设平面
的法向量为
，

则有
，得
，

令
则
，所以可以取
， ………………10分

因为
平面
,取平面
的法向量为

所以

平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
………………12分

19（Ⅰ）

这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………4分

（Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则

事件B “至少一个路段严重拥堵”，则

所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是
…………8分

（III）分布列如下表：

30

36

42

60





0.1

0.44

0.36

0.1





此人经过该路段所用时间的数学期望是
分钟． ……………12分

20.(Ⅰ)因为
,
,所以
.

因为原点到直线
:
的距离
,解得
,
.

故所求椭圆
的方程为
. ……………………4分

(Ⅱ)因为点
关于直线
的对称点为
,

所以
解得
,
.

所以
.

因为点
在椭圆
:
上,所以
.

因为
, 所以
.所以
的取值范围为
. …8分

(Ⅲ)由题意
消去,整理得
.可知
.

设
,
,
的中点是
,

则
,
.

所以
. 所以
.

即
. 又因为
,

所以
.所以
………………12分

21．21. (Ⅰ)f(x)的定义域为
，
， ………………1分

令

，
，

①当
时，
在
恒成立， f(x)递增区间是
；

②当
时，
,

又x>0,
递增区间是
，递减区间是
. ………4分

（Ⅱ）（ⅰ）

设
,

化简得：
,
,…6分

，
在
上恒成立，
在
上单调递减，

所以
，
,即的取值范围是
.……………8分

（ⅱ）
，
在
上单调递增,

①若
，则
则
与已知
矛盾,

②若
，则
则