吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测

数学（文）试题命题人：梁清华? 审题人：刘乙?

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合
，则
等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知复数z满足
为虚数单位），则复数
所对应的点所在象限为 （ ）

A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限

3.下列说法正确的是 （ ）

A. 命题“
使得
”的否定是：“
”

B. “
”是“
在
上为增函数”的充要条件

C. “
为真命题”是“
为真命题”的必要不充分条件

D. 命题p：“
”，则p是真命题

4．等差数列
中，
，则
（ ）

A．10 B．20 C．40 D．2+log25

5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）

A B C D

6.如果
是二次函数, 且
的图象开口向上,顶点坐标为(1,), 那么曲线

上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7.直线
：
与圆M：
相切，则的值为 (　　)

A.1或－6 B.1或－7 C.－1或7 D.1或

8.设
是两条直线，
是两个平面，则下列4组条件中：①

∥
，
；

②
；③

，∥
； ④
，
∥
，∥
.

能推得
的条件有（ ）组.

A． B． C．
D．

9. 变量x，y满足约束条件
则目标函数
的取值范围是 ( )

A．
B．[
，6] C．[－2，3] D．[1，6]

10.设函数
，则下列关于函数
的说法中正确的是 （ ）

A.
是偶函数 B.
最小正周期为π

C.
图象关于点
对称 D.
在区间
上是增函数

11.若a,b,c均为单位向量，a· b
，c=x a + y b
，则
的最大值是 ( )

A． B.
C．
D.

12.已知定义在R上的函数
对任意的都满足
，当
时，
，若函数
至少6个零点，则取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知数列
的前项和为
，
，
，,则
.

14. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别为BC、CD的中点，则
.

15.设ΔABC的三边长分别为
，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝
；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝ .

16. 把一个半径为 5
cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为 .

三、解答题：本大题共6道题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知向量
，
，（其中
），函数
，若
相邻两对称轴间的距离为
.

(I)求的值，并求
的最大值及相应x的集合；

(Ⅱ)在
中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，
的面积
，b=4，
，求边a的长.

18．(本题满分12分)

数列
的前项和为
，且
是
和的等差中项，等差数列
满足
，
.

(I)求数列
、
的通项公式；

(Ⅱ)设
，数列
的前项和为
，证明：
.

19．(本题满分12分)

如图，在直三棱柱
中，
，
，且是
中点.

（I）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
.

20．(本题满分12分)

已知椭圆C:
(
)的右焦点为F(2,0),且过点P(2,
).直线
过点F且交椭圆C于A、B两点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(
),求直线
的方程.

21. (本题满分12分)

已知函数
为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线
在点
处的切线与x轴平行.

(Ⅰ)求
的单调区间；

(Ⅱ)设
，其中
为
的导函数.证明：对任意
.

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:

如图，圆
与圆
相交于A、B两点，AB是圆
的直径，过A点作圆
的切线交圆
于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆
、圆
交于C，D两点。

求证：(Ⅰ)PA·PD=PE·PC；

(Ⅱ)AD=AE.

23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

已知圆锥曲线C：

为参数）和定点
,
是此圆锥曲线的左、右焦点。

(Ⅰ)以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

求直线
的极坐标方程；

(Ⅱ)经过点
，且与直线
垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，

求
的值.

24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知函数
。

(Ⅰ)解不等式
；

(Ⅱ)若
，且
，求证：
.

吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测

(文科)答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

B

B

C

B

B

C

A

D

A

A



二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．
14.
15．
16．20cm

三．解答题（本大题共6小题，共计70分）

17.解：(I)

………………………3分

由题意可得
，∴
，∴
……………4分

当
时，
的最大值为2，

此时x的集合是
……………6分

（Ⅱ）

…………………8分

…………10分

由余弦定理得：a2=16+25－2×4×5cos
=21
……………12分

18. (I)∵
是
和的等差中项，∴

当
时，
，∴

当
时，
，

∴
，即
………………… 3分

∴数列
是以
为首项，为公比的等比数列，

∴
，
………………… 5分

设
的公差为
，
，
，∴

∴
………………… 6分

（Ⅱ）
………………… 7分

∴
……………9分

∵
,∴
………………… 10分

∴数列
是一个递增数列 ∴
.

综上所述，
………………… 12分

19. (Ⅰ) 解：(I) 连接
交
于点，连接

因为
为正方形，所以为
中点

又为
中点，所以
为
的中位线，

所以
………………2分

又
平面
，
平面

所以
平面
……………4分

(Ⅱ)因为
，又为
中点，所以
…………5分

又因为在直三棱柱
中，
底面
，

又
底面
, 所以
,

又因为
，所以
平面
，

又
平面
，所以

…………8分

在矩形
中,
,所以
，

所以
，即
………………10分

又
，所以
平面
……………12分

20. (Ⅰ)设椭圆C的方程为
,则

,解得
,
,所以椭圆C的方程为
. ……4分

(Ⅱ)当斜率不存在时,不符合题意,

当斜率存在时设直线l的方程为y=k(x－2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0),

由
得
,

因为
,

所以
,

所以
,
, ……8分

因为线段AB的垂直平分线过点M(
),

所以
,即
,所以
,

解得,
,

所以直线
l的方程为
或
………………12分

21. (Ⅰ)
由已知，
……………………2分

.

设
则
即
在
上是减函数，………4分

由
知，当
时，
>0, 从而
，

当
时，
<0, 从而
，

综上可知，
的单调递增区间是(0,1), 单调递减区间是(1,+). ………6分

(Ⅱ) 由(1)可知, 当≥1时，
≤

故只需证明
在
时成立.

当
时，
且
，
………8分

设
，则

当
时，
， 当
时，
，

所以，当
时，
取得最大值
………………10分

所以，
≤

综上，对任意

………………………………………12分

22. （Ⅰ）
、
分别是