江西省七校2014届高三上学期第一次联考理科数学试题

（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）

一．选择题（每小题5分，共50分）

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

2．设
，
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

3．函数
，若
，则
（ ）

A．2018 B．－2009 C．2013 D．－2013

4．要得到函数
的图像，只需将函数
的图像（ ）

A．向左平移
B．向左平移
C．向右平移
D．向右平移

5．在等差数列
中，首项a1=0，公差d≠0，若
，则k=（ ）

A．22 B．23 C．24 D．25

6．设
，向量
，
，
，且
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．10

7．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（ ）

A．α⊥β且
B．α⊥β且

C．
且n⊥β D．m⊥n且

8．在
中，若
，则
的形状一定是（ ）

A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形

C．钝角三角形 D．直角三角形

9．定义域为R的连续函数
，对任意x都有
，且其导函数
满足
，则当
时，有（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
若a、b、c互不相等，且
，则a＋b＋c的取值范围是（ ）

A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]

二．填空题（每小题5分，共25分）

11．若
，则
的解集为 。

12．若点
在直线
上，则
的值等于 。

13．若正四棱锥的左视图如右图所示，则该正四棱锥体积为 。

14．如图所示，在第一象限由直线
，
和曲线
所围图形的面积为 。

15．关于函数
有下列命题：①函数
的图像关于y轴对称；②在区间（－∞，0）上，函数
是减函数；③函数
的最小值为lg2；④在区间（1，＋∞）上，函数
是增函数。其中是真命题的序号为 。

三．解答题：本大题共6小题，满分12+12+12+12+13+14=75分．解答须写出

文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）如图，平面四边形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=5，
，
.

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）设
，求x、y的值。

17．（本小题满分12分）函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调递减区间；

（Ⅱ）将
的图像向左平移
个单位，再将得到的图像横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到
的图像，若
的图像与直线
交点的横坐标由小到大依次是
求数列
的前2n项的和。

18．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）当a=3时，求函数
在
上的最大值和最小值；

（Ⅱ）求函数
的定义域，并求函数
的值域。（用a表示）

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA=AD=2.

（Ⅰ）求证：PD//平面AMC；

（Ⅱ）若AB=1，求二面角B—AC—M的余弦值。

20．（本小题满分13分）

已知各项均为正数的数列
满足
，且
，其中
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足
是否存在正整数m、n（1

21．（本小题满分14分）

已知函数
，其中a>0.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若直线
是曲线
的切线，求实数a的值；

（Ⅲ）设
，求
在区间[1，e]上的最大值（其中e为自然对的底数）。

江西省七校2014届高三第一次联考数学答案（理科）

一．选择题（每小题5分，共50分）

1—5 DCCAA 6—10 BCDDC

二．填空题（每小题5分，共25分）

11、（2，+∞） 12、
13、
14、ln2 15、①③④

16、（12分）

解：（1）设
，

，

…………………………………………………….3分

……………………………………………………..6分

（2）由
……….8分

………………………………………………..10分

解得：
． ………………………………………… 12分

17、（12分）

【解析】（Ⅰ）

．………………………4分

令
，所以

所以
的单调递减区间为
．　………………6分

（Ⅱ）将
的图象向左平移
个单位后，

得到

．…………………7分

再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到
，…8分解法一：若函数
的图象与直线
交点的横坐标由小到大依次是

、
、
、
、
，则由余弦曲线的对称性，周期性可知，

…………9分

所以

．………………………………………………12分

解法二：若函数
的图象与直线
交点的横坐标由小到大依次是
、
、
、
、
，则
．……………9分

由余弦曲线的周期性可知，

；

所以

．………………………12分

18.（12分）

解：（1）令
，显然
在
上单调递减，故

，

故
，即当
时，
，（在
即
时取得）

??????
，（在
即
时取得）

(II)由
的定义域为
，由题易得：
，

因为
，故
的开口向下，且对称轴
，于是：

?当
即
时，
的值域为（
；

?当
即
时，
的值域为（

19．（12分）

解：（Ⅰ）证明：?连接
，设
与
相交于点
，连接
，

????∵?四边形
是平行四边形，∴点
为
的中点．????????????????

∵
为
的中点，∴
为
的中位线，

∴
((?
，????????? …… 3分

∵
，

∴
((
．????????……6分

?(Ⅱ)??解法一?：?∵
平面
，
((
，?则
平面
，故
，

又
??且
，

∴?

取
的中点
，连接
，则
((
，且?
．???

∴?
．

作
，垂足为
，连接
，由于
，且
，

∴
，∴?
．

∴
为二面角
的平面角．? ……?9分

由
∽
，得
，得
，

在
中，
．

∴?二面角
的余弦值为
．????…… 12分

?(Ⅱ?)?解法二：?∵
平面
，
，?则
平面
，故
，

又
??且
，∴
．??????????……?9分

以点
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，
轴和
轴，建立空间直角坐标系
．

????则
，
，
，
，
，??

????????∴
，?
，

????????求得平面
的法向量为
，?

????????又平面
的一个法向量为
，?

????????∴?
?.?????

????????∴?二面角B—AC—M的余弦值为
.??…… 12分

20、解析：（1）??因为
?即
?

又
?所以有
?即

所以数列
是公比为
的等比数列?

由
得
?解得
。

从而，数列
的通项公式为

。……………………6分

（II）???
?
，若
成等比数列，则
，

即
．

由
，可得
，

所以
，解得：
。

又
，且
，所以
，此时
．

故当且仅当
，
?使得
成等比数列。……………………13分

21、(Ⅰ）①
（
）

令
，则
，又
的定义域是

∴函数f(x)的单调递增区间为（0，2），递减区间为（－∞，0）和（2，＋∞）（4分）

（II）设切点为
则
解得
………………7分

（III）

令
，则
，

①当
时，
在
单调增加
…………9分

②当
时，
在
单调减少，在
单调增加；

若
时，
；

若
时，
；……………………11分

③当
时，
在
上单调递减，
；

综上所述，
时，
；

时，
。……………………14分