祁东育英实验学校2014届高三复习周考题

理科数学（2013.12.20.）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
（i为虚数单位）的值是 （ ）

A．-1 B．1 C．-i D．i

2．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天（0时~ 24时）体温的变化情况的图是 （ ）

3．直线l ,m 与平面
，满足
，l //
，
，
，则必有 （ ）

A.
且
B.
且
C .
且
D.
且

4．已知a>b，二次三项式ax2 +2x +b≥0对于一切实数x恒成立．又
，使
成立，则
的最小值为 （ ）

A．1 B．
C．2 D．2

5．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是 （ ）

A．2 B．
C．4 D．2

6．已知变量x，y满足约束条件
，则z=3|x| +y的取值范围为 （ ）

A．[-1,5] B．[1, 11] C．[5, 11] D．[-7, 11]

7．函数f（x）=
cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为 （ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，给出下列命题：

①
； ②
；

③
：
：
=cosA：cosB：cosC;

④
，使得
。

以上命题正确的个数是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4；

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一）选做题（请考生在9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

9. （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系
中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
，曲线
，若两曲线有公共点，则
的取值范围是 。

10.设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时,
取得最小值.

11. 如图,在△ABC中,AB＝AC,
72° ,⊙O过A、B两点且与BC相切

于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝
,则
．

（二）必做题（12～16题）

12．已知sin
－3cos
=0，则
。

13．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为 ．

14．已知a=4
，则二项式（x2+
）5的

展开式中x的系数为 ．

15．已知直线
⊥平面
，直线m
平面
，有下列命题：

①
∥


⊥m； ②
⊥


∥m；

③
∥m

⊥
； ④
⊥m

∥
．

其中正确命题的序号是　　　　　　　　　　　　　　　。

16．给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是l，2，3，…，2013，从第二行起每一个数都等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数f（x）= cos( 2x+
)+sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足

2
·
=
， 求△ABC的面积S．

18．（本小题满分12分）

在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为
、
，设
为坐标原点，点
的坐标为
，记
．

(1)求随机变量
=5的概率；

(2)求随机变量
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量z（吨）之间的函数关系可近似的表示为：且每处理一二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．

（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？

（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1．M是棱SB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；

（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为
，求sin
的最大值，

21．（本题满分13分）

设点P是圆x2 +y2 =4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为Po，且
．

（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线
：y=kx+m(m≠0)与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．

（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；

（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线
过定点(Q点除外)，并求出该定点的坐标．

22．（本题满分13分）

已知函数f（x）=lnx+

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设m
R，对任意的a∈（-l，1），总存在xo∈[1，e]，使得不等式ma － (xo)<0成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）证明：ln2 l+ 1n22,+…+ln2 n>
∈N*）．

2013.12.20周考理科数学参考答案

一、选择题：

1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．B 7．C 8.B

二、填空题：

9.
10.
11.212．
13．
14．

15．①与③ 16． 1007×22012

三、解答题：

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为

.

所以，最小正周期
，值域为
. ……………………（6分）

（Ⅱ）

，

，
.

.

又，
，

，
.

而
，
.

由正弦定理，有
，即
.

.

. ……………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解(1)
、
可能的取值为
、
、
，

，且当
或
时，

又有放回摸两球的所有情况有
种，

.………………6分

(2)
的所有取值为
．

时，只有
这一种情况．

时，有
或
或
或
四种情况，

时，有
或
两种情况．

，
，
，…………………8分

则随机变量
的分布列为：

























………10分

因此，数学
.………………12分

19．（本小题满分12分）

解：

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

，
，
，
，
，
.

则
.

设平面SCD的法向量是
则

即

令
，则
，于是
.

，
.

AM∥平面SCD. ……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为
.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为
，

则
，即
.

平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为
.………………………………（8分）

（Ⅲ）设
，则
.

又，面SAB的法向量为
，

所以，
.

.

当
，即
时，
.……………………………………（12分）

21．（本题满分13分）

解：（Ⅰ）设点
，
，则由题意知
.

由
，
，且
，

得
.

所以
于是

又
，所以
.

所以，点M的轨迹C的方程为
.………………………………（3分）

（Ⅱ）设
，
.

联立

得
.

所以，
，即
. ①

且
………………………………………………（5分）

（i）依题意，
，即
.

.

，即
.

，
，解得
.

将
代入①，得
.

所以，
的取值范围是
. …………………………………………（8分）

（ii）曲线
与
轴正半轴的交点为
.

依题意，
， 即
.

于是
.

，

即
，

.

化简，得
.

解得，
或
，且均满足
.

当
时，直线
的方程为
，直线过定点
(舍去)；

当
时，直线
的方程为
，直线过定点
.

所以，直线过定点
. …………………………………………………（13分）

22．（本题满分13分）

解: （Ⅰ）
.

令
，得
，因此函数
的单调递增区间是
.

令
，得
，因此函数
的单调递减区间是
.…………（3分）

（Ⅱ）依题意，
.

由（Ⅰ）知，
在
上是增函数，

.

，即
对于任意的
恒成立.

解得
.

所以，
的取值范围是
. …………………………………………（7分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）
，

，
.

.

即
.

又，

.

.

由柯西不等式，
.

.
. ……………………………………（13分）