河南省郸城一高2013—2014学年度高三月考（12月）

数学试题（文）

命题：郸城一高 杨培军

一、选择题（每题5分，共12小题，满分60分）

1．已知集合A＝{x｜－1≤x≤2，x∈Z}，集合B＝{0，2，4}，则A∪B等于 （ ）

A．{－1，0，1，2，4} B．{－1，0，2，4}

C．{0，2，4} D．{0，1，2，4}

2．已知设i是虚数单位，若
＝a＋bi（a，b∈R），则
的值是 （ ）

A．8 B．10 C．3 D．2

3．条件p：x＞1，y＞1，条件q：x＋y＞2，xy＞1，则条件p是条件q的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．为了得到函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝cos2x的图象 （ ）

A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移

5．已知公差不为零的等差数列{
}的前n项和为
，若
是a3与a7的等比中项，且S10＝60，则S20等于 （ ）

A．80 B．160 C．320 D．640

6．已知x＞0，y＞0，且9x＋y＝xy，不等式ax＋y≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 （ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（sinβ，－cosβ），则｜a＋b｜的最大值为 （ ）

A．
B．2 C．2
D．4

8．已知a是函数f（x）＝
＋
的零点，若0＜
＜a，则f（
）的值满足 （ ）

A．f（
）＞0 B．f（
）＝0 C．f（
）＜0 D．f（
）符号不确定

9．给出如下四个命题：

①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；

②命题“若a＞b，则
＞
－1”的否命题为“若a≤b，则
≤
－1”；

③“
∈R，
＋1≥1”的否定是“
∈R，
＋1≤1”

④给出四个函数y＝
，y＝x，y＝
，y＝
，则在R上是增函数的有3个．

其中不正确的命题个数是 （ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

10．已知数列{
}的通项公式为
＝2n（n∈N﹡），把数列

{
}的各项排列成如图所示的三角形数阵：记M（s，t）

表示该数阵中第s行的第t个数，则数阵中的偶数2010

对应于（ ）

A．M（45，15） B．M（45，25）

C．M（46，16） D．M（46，25）

11．已知双曲线
（a＞0，b＞0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N 两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．对于函数y＝f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是 [m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“梦想区间”．若函数f（x）＝a－
（a＞0）存在“梦想区间”，则a的取值范围是 （ ）

A．（
，2） B．（
，＋∞） C．（
，
） D．（2，＋∞）

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则三角形的形状是_______________．

14．在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组
表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是_______．

15．函数f（x）对任意正整数a，b满足条件f（a＋b）＝f（a）·f（b）且f（1）＝2，则
＋
＋
＋…＋
＝______________

16．给出下列命题：

①若a＞b，则
＜
成立的充要条件是ab＞0；

②若不等式
＋ax－4＜0对任意x∈（－1，1）恒成立，则a的取值范围为（－3，3）；

③数列{
}满足：a1＝2068，且
＋
＋
＝0（n∈N﹡），则
＝2013；

④设0＜x＜1，则
＋
的最小值为

其中所有真命题的序号是______________．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（本题满分10分）)已知α为锐角，sinα＝
，tan（α－β）＝
，求cos2α和tanβ

的值．

18．（本题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{
}的首项为a1＝2，且4a1是2a2，a3的等差中项．

（1）求数列{
}的通项公式
；

（2）若
＝

，
＝b1＋b2＋…＋
，求
．

19．（本题满分12分）在锐角三角形中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足条件
＋sin2BsinB＋cos2B＝1．

（1）求角B的值；

（2）若b＝3，求a＋c的最大值．

20．（本题满分12分）已知函数f（x）＝
，m∈R．

（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f （2））处的切线方程；

（2）若f（x）在区间（－2，3）上是减函数，求m的取值范围．

21．（本题满分12分）已知点A（0，－2），B（0，4），动点P（x，y）满足
·
＝

－8．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设（1）中所求轨迹与直线y＝x＋b交于C，D两点，且OC⊥OD（O为原点），求b的值．

22．（本题满分12分）已知a∈R，函数f（x）＝ax－lnx，g（x）＝
，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，为常数．

（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间与极值;

（2）在（1）的条件下，求证：f（x）＞g（x）＋
；

（3）是否存在实数a，使得f（x）的最小值为3?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．