河南省郸城一高2013—2014学年度高三月考（12月）

数学试题（理）

命题：郸城一高 杨培军

一、选择题（每题5分，共12小题，满分60分）

1．设集合A＝{x｜
≤0}，B＝{x｜｜x｜＜1 }，则A∪B等于 （ ）

A．{x｜
≤x＜1} B．{x｜－1＜x≤2}

C．{x｜－1＜x＜2且x≠1} D．{x｜－1＜x＜2}

2．设a∈R，i是虚数单位，则当
是纯虚数时，实数a为 （ ）

A．－
B．－1 C．
D．1

3．已知条件p：lnx＞0，条件q：
＞1，则命题p是命题q的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．为了得到函数y＝sin2x＋
sinxcosx的图象，可以将函数y＝sin2x的图象 （ ）

A．向左平移
个单位长度，再向下平移
个单位长度

B．向右平移
个单位长度，再向上平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度，再向下平移
个单位长度

D．向右平移
个单位长度，再向上平移
个单位长度

5．公差不为零的等差数列{
}的前n项和为
，若a4是a3与a7的等比中项，且S10＝60，则S20等于（ ）

A．80 B．160 C．320 D．640

6．已知不等式xy≤a
＋2
对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是

（ ）

A．[－1，2] B．（－∞，1] C．（0，2） D．[－1，＋∞）

7．已知向量
＝（cosα，sinα），
＝（1＋sinα，1－cosα），则｜
｜的最大值是

（ ）

A．
B．
C．2
D．2

8．已知函数f（x）＝
－
，若f（a）f（b）f（c）＞0且a，b，c是公差为正的等差数列的连续三项，
是函数y＝f（x）的一个零点，则下列关系式一定不成立的是 （ ）

A．
＞b B．
＜b C．
＞c D．
＜a

9．给出下列四个命题： （ ）

①若ξ～B（4，0．25），则Eξ＝1；

②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；

③若a，b∈[0，1]，则不等式
≤1成立的概率是
；

④函数y＝
在[2，＋∞）上恒为正，则实数a的取值范围是（－∞，
）．

其中真命题的个数是 （ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

10．已知实数数列{
}中，a1＝1，a6＝32，
，把

数列{
}的各项排成如右图的三角形状．记A（m，n）

为第m行从左起第n个数，若A（m，n）·A（n，m）

＝
，则m＋n等于 （ ）

A．9 B．10 C．11 D．12

11．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点为M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（ ）

A．（
，＋∞） B．（1，
） C．（2，＋∞） D．（1，2）

12．在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆
＝1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得
＝λ
＋μ
，则
的取值范围是 （ ）

A．（
，1） B．（
，1） C．（1，2） D．（2，＋∞）

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13．
的二项展开式中，常数项为______________

14．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（4＋x）＋f（－x）＝0，且f（1）＝9，则f（2011）＋f（2012）＋f（2013）的值为___________

15．已知不等式组
表示的平面区域为M，直线y＝x与曲线y＝
所围成的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．

16．已知f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3），g（x）＝
－2，若同时满足条件：①
∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②
∈（－∞，－4），f（
）g（
）＜0，则m的取值范围是_____________．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（本题满分10分）已知α为锐角，sinα＝
，tan（α－β）＝
，求cos2α和tanβ的值．

18．（本题满分12分）已知各项均为正数的数列{
}满足
＋3
－2
＝0（n∈

N﹡），且
＋
是a2，a4的等差中项, 数列{
}的前n项和
＝
．

（1）求数列{
}与{
}的通项公式；

（2）若
＝
＋
＋…＋
，求证：
＜
.

19．（本题满分12分）在△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知内角C为钝角，且2sin 2A－cos2A－2＝0，

（1）求角A的大小；

（2）试比较b＋c与
a的大小．

20．（本题满分12分）已知a∈R，函数f（x）＝
＋lnx－1．

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（2）求f（x）在区间（0，e]上的最小值．

21．（本题满分12分）已知点A（0，－3），O为坐标原点，动点P（x，y）满足｜PA｜＝

2｜PO｜．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若关于直线y＝k（x－1）对称的两点M，N在动点P的轨迹上，且直线MN与
相切，试求直线MN的方程．

22．（本题满分12分）已知函数f（x）＝
,g（x）＝2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．

（1）当x＞0时，求证:
≥4
；

（2）求F（x）＝f（x）－g（x）（x＞0）的单调区间及最小值；

（3）试探究是否存在一次函数y＝kx＋b（k，b∈R），使得f（x）≥kx＋b且g（x）≤kx＋b对一切x＞0恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由．