高三数学周练十三

一、选择题：

1．已知集合M＝
，N＝
，则M∩N＝（ ）

A．｛x|1＜x＜3｝ B．｛x|0＜x＜3｝ C．｛x|2＜x＜3｝ D．

2．要得到函数
的图像，只需将函数
的图像（ ）

A. 向右平移
个单位 B. 向右平移
个单位 C. 向左平移
个单位 D. 向左平移
个单位

3．已知椭圆
上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为３，则P到另一焦点距离为

A．5 　 B．7 C．8 D．10

4．函数
与
的图像关于

A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称

5．如果实数
满足条件
，那么
的最大值为

A． B．
C．
D．

6．二项式
展开式的常数项为

A．-540 B．-162 C．162 D．540

7．长方体
中， AB=1，
，是侧棱
中点．则直线
与平面
所成角的大小是

A．30o B．45o C．60o D．90o

8．方程
所表示的曲线图形是

9．已知数列
是正项等比数列，
是等差数列，且
，则一定有

A．
B．

C．
D．

10．已知
是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若
；②若
；

③如果
相交；

④若
其中正确的命题是

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

11.已知定义在R上的函数
满足
，且
，
. 则有穷数列{
}(
）的前项和大于
的概率是

A．
B．
C．
D．

12. 已知抛物线
有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：

13．7位同学中需选派4位按一定的顺序参加某演讲比赛，要求甲，乙两人必须参加，那么不同的安排方法有____________种.

14．已知正方体
棱长1，顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，则此半球的体积是 .

15．已知
，把数列
的各项排列成如右侧的三角形状：

记
表示第m行的第n个数，则
.

16．在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几何图形的4个顶点，这些几何图形是 　　　　　 ．（写出所有正确结论的编号）．

①梯形；②矩形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是等腰直角三角形的四面体.

三、解答题：

17．已知

（I）求
的值；

（II）求

18．已知数列
，设
，数列
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
的前项和为
，求
.

19．某建筑的金属支架如图所示，根据要求
至少长2.8m，为
的中点，到的距离比
的长小0.5m，
，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计
的长，可使建造这个支架的成本最低？

20．如图，棱锥
的底面
是矩形，
⊥平面
，
，
为棱
上一点，且
.

（Ⅰ）求二面角
的余弦值；

（Ⅱ）求点
到平面
的距离.

21．已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间及其极值;

（Ⅱ）证明：对一切
，都有
成立.

22．已知抛物线
，过定点
的直线
交抛物线于A、B两点.

(Ⅰ)分别过A、B作抛物线的两条切线，A、B为切点，求证：这两条切线的交点
在定直线
上.

(Ⅱ)当
时，在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线
对称，弦长|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示），若不存在，请说明理由.

答案

一、选择题

CDBCA ABDBD CD

二、填空题：

13． 240 14
15 83 16．②③④

三、解答题：

17．（I）
（II）

18．（Ⅰ）
（Ⅱ）

19．解：设
连结BD. 则在
中，

设

则

等号成立时

答：当
时，建造这个支架的成本最低.

20．（Ⅰ）二面角
的余弦值为
（Ⅱ）点
到平面
的距离为

21．Ⅰ）
的极大值为
.

（Ⅱ）证明：对一切
，都有
成立

则有

由（Ⅰ）知，
的最大值为
，并且
成立，当且仅当
时成立，

函数
的最小值大于等于函数
的最大值，但等号不能同时成立.

所以，对一切
，都有
成立.

22．解：(Ⅰ)由
，得
，设

过点A的切线方程为：
，即

同理求得过点B的切线方程为：

∵直线PA、PB过
，∴
,

∴点
在直线
上，

∵直线AB过定点
，∴
，即

∴两条切线PA、PB的交点
在定直线
上.

(Ⅱ) 设
，设直线
的方程为：
，则直线
的方程为：
，

，

，
①

设弦PQ的中点
，则

∵弦PQ的中点
在直线
上，

∴
，即
②

②代入①中，得
③

由已知
，当
时， 弦长|PQ|中不存在最大值.

当
时，这时
，此时，弦长|PQ|中存在最大值，

即当
时，弦长|PQ|中的最大值为