唐山一中2013—2014学年高三年级12月份调研考试

数学（文）试题

注意事项：

1．本试卷共4页分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。

第Ⅰ卷：选择题（60分）

选择题：（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.不等式
解集为Q，
，若
，则实数
等于

A.
B.
C.4 D.2

2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若
，则

A.
B.
C.
D.

3．设函数
，若
则

A.
B.
C.
D.

4. 已知命题
，命题
，则下列命题中为真命题的是

A.
B.
C.
D.

5．已知关于x的不等式
的解集是
，且a>b,则

的最小值是[

A．
B．2 C．
D．1

6.长方体
的各个顶点都在表面积为
的球
的球面上，其中
，则四棱锥
的体积为

A.
B.
C.
D.

7. 若函数
的图象与x轴交于点
，过点
的直线
与函数
的图象交于
两点，则

A．
B．16 C．32 D．
　

8．函数y = x 2－2x在区间[a,b]上的值域是[－1,3],则点(a,b)的轨迹是右图中的

A．线段AB和线段AD B．线段AB和线段CD

C．线段AD和线段BC D．线段AC和线段BD

9．右图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于

A．
???????? B．

C．
?? D．

10. 已知恒过定点(1,1)的圆C截直线
所得弦长为2，则圆心C的轨迹方程为

A.
B.

C.
D.

11.已知函数
定义域为
，且函数
的图象关于直线
对称，当
时，
，（其中
是
的导函数），若
，
，
则
的大小关系是

A.
B.
C.
D.

12.已知点
，
是函数
图象上不同于
的一点.有如下结论：

①存在点
使得
是等腰三角形；

②存在点
使得
是锐角三角形；

③存在点
使得
是直角三角形.

其中，正确的结论的个数为

A. 0 B.1 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷：非选择题（90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。

13.已知实数
满足
，则
的最大值为________________.

14. 等比数列
中，
，公比q满足
，若
，则m= .

15.已知
，
，
，点
在
内，
，若

，则
　　 .

16. 在
中，角
所对的边分别为
满足
，

,
, 则
的取值范围是 .

三．解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知等差数列
中，公差
，其前
项和为
，且满足：
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，
（
），求
的最大值.

18．（本小题满分12分）

已知向量
，向量
，函数
.

（1）求
的最小正周期
；

（2）已知
分别为
内角
的对边，
为锐角，
，

且
恰是
在
上的最大值，求
和
的值.

19. （本题满分12分）

右图为一组合体，其底面
为正方形，
平面
，
，且

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求四棱锥
的体积；

（Ⅲ）求该组合体的表面积．

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2＝4和直线l：x＝4，M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．

（1）若M点的坐标为(4，2)，求直线PQ方程；

（2）求证直线PQ过定点，并求出此定点的坐标．

21．（本小题满分12分）

某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为
亿元，其中用于风景区改造为
亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用
随每年改造生态环境总费用
增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少
亿元，至多
亿元；③每年用于风景区改造费用
不得低于每年改造生态环境总费用
的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用
的25%.

若
，
，请你分析能否采用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案.

22. （本小满分12分）

已知函数
，
，其中
且
．

(Ⅰ) 当
，求函数
的单调递增区间；

(Ⅱ) 若
时，函数
有极值，求函数
图象的对称中心的坐标；

（Ⅲ）设函数
（
是自然对数的底数），是否存在a使
在
上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

2013—2014学年高三年级第三次调研考试

数学（文）试题答案

DBACA BCAAD BB

13. 2 14. 11 15. 4 16.

17．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）∵　数列
是等差数列，

　　　　 ∴　
．又
，

　　　　 ∴　
，或
．

　　　　 ∵　公差
，∴　
，
．

　　　　 ∴　
，
．

　　　　 ∴　
．

（Ⅱ）∵　
，

　　 ∴　

≤
．

当且仅当
，即
时，
取得最大值
．

18．（本小题满分12分）

解: （1）
，

，

……6分

（2） 由（1）知：
，
时,

当
时
取得最大值
，此时
.

由
得
由余弦定理，得
∴
，即
则
……………12分

19. （本题满分12分）

（Ⅰ）证明：∵
，

∴

同理可证

∵

∴

又∵
， ∴

（Ⅱ）解：∵
，

∴

∵
，

∴

∵

∴四棱锥
的体积

（Ⅲ）解：∵

∴

又∵
，
，
，
，

∴组合体的表面积为

20.（本小题满分12分）

【解】（1）当M(4，2)，则A1(－2，0)，A2(2，0).

直线MA1的方程：x－3y+2=0，解
得
．…

（2）设M（4,t）,则直线
的方程：
,直线
的方程：

由
得

由
得

当
时，
，则直线PQ:

化简得
，恒过定点（1,0）

当
时，
,直线PQ：x=1, 恒过定点（1,0）

故直线PQ过定点（1,0）．………12分

21．（本小题满分12分）

解：∵
，

∴函数y＝
是增函数，满足条件①。

设
，

则
，

令
，得
。

当
时，
，
在
上是减函数；

当
时，
，
在
上是增函数，

又
，
，即
，
在
上是减函数，

∴当
时，
有最小值0.16=16%>15%，

当
时，
有最大值24%<25%,

∴能采用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案。 12分

22. （本小满分12分）

解：(Ⅰ) (Ⅰ) 当
，

，

设
，即
，

所以
，或
，

单调增区间是
，
； 4分

(Ⅱ) 当
时，函数
有极值，

所以
，且
，即
，

所以
，

的图象可由
的图象向下平移16个单位长度得到，而
的图象关于（0，0）对称，

所以函数
的图象的对称中心坐标为
； 8分

（Ⅲ）假设存在a使
在
上为减函数，

，

(1)当
时，
，
在定义域上为增函数，不合题意；

(2)当
时，由
得：
，
在
上为增函数，则在
上也为增函数，也不合题意；

(3)当
时，由
得：
，若

a无解，则
，

因为
在
上为减函数，则
在
上为减函数，
在
上为减函数，且
，则
． 由
，得
．

综上所述，符合条件的a满足
． 12分