选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合
，
，若
，则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2．已知α、β均为锐角，若p：sinα＜sin（α+β），q：α+β＜
，则p是q的（　　）

A．

充分而不必要条件

B．

必要而不充分条件



　

C．

充要条件

D．

既不充分也不必要条件



3.已知函数
，则该函数是（　　）

A．

非奇非偶函数，且单调递增

B．

偶函数，且单调递减



　

C．

奇函数，且单调递增

D．

奇函数，且单调递减



4.函数
图象交点的横坐标所在区间是（ ）

A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，6）

5. 已知函数
的图像为曲线C，若曲线C存在与直线y=
垂直的切线，则实数m的取值范围是

A．m≤2 B．m>2 C．≤
D．m>

6．已知
，且
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

7.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线
和曲线
围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

8．函数
是奇函数,且在

上单调递增,则等于（ ）

A.0 B.-1 C.1 D.

9.、已知函数
=
，若|
|≥
，则的取值范围是（ ）

(A)
(B)
(C) [－2,1] (D) [－2,0]

10.已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），则满足
的实数x的取值范围是（　　）

A．

（﹣1，2）

B．

（﹣1，
）

C．

（
，2）

D．

（﹣2，1）



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.如果
（tanx）=sin2x﹣5sinx?cosx，那么f（5）=　　．

12设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为 .

13．
是定义域为的偶函数，当
时，
。那么，不等式
的解集是__________________.

14．如果不等式
的解集为，且
，那么实数a的取值范围是 .

15.若函数

满足
且
的最小值为
，则函数
的单调增区间为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．已知集合
,
,
.

（1）求
,
;

（2）若
,求a的取值范围.

17．已知函数
（
为常数）．

（1）求函数
的最小正周期和单调增区间；

（2）若函数
的图像向左平移
个单位后，得到函数
的图像关于轴对称，求实数的最小值.

18．如图，四棱锥E—ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB平面ABCD，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF平面ACE．

（1）求证：AEBE；

（2）求二面角A—CD—E的余弦值．

19．已知向量．

（I）若
，求COS（
﹣x）的值；

（II）记
，在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

20. (本题满分13分)

设平面内两定点
，直线PF1 和PF2相交于点P,且它们的斜率之积为定值
；

（Ⅰ）求动点P的轨迹C1的方程；

（Ⅱ）设M（0，
），N为抛物线C2：
上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P、Q两点，求
面积的最大值．

21．（本大题满分14分） 已知函数

（1）若x=2为
的极值点，求实数a的值；

（2）若
在
上为增函数，求实数a的取值范围；

（3）当
时，方程
有实根，求实数b的最大值。

2013-2014学年第一学期高三年级第一次月考试卷（数学理科）

参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

C

C

B

A

D

C

D

A



二、填空题

11.答案为：0 12答案为 13．(－7, 3) 14．【答案】 [2，+∞） 15．【答案】

三、解答题：

16．【解析】（1）
, 因为
,

所以
.

（2）由（1）知
, ①当
时,满足
,此时
,得
;

②当
时,要
,则
,解得
. 由①②得,
.

17. 解：（1）

………………………4分

的最小正周期为
………………………5分

当
，即
时，函数
单调递增，故所求单调增区间为
………………………8分

（2）函数
的图像向左平移
个单位后得
，

………………………9分

要使
的图像关于轴对称，只需
………………………11分

即
，所以的最小值为
． ………………………12分

18．解：（1）ABCD是矩形， BCAB，平面EAB平面ABCD，

平面EAB平面ABCD=AB，BC平面ABCD， BC平面EAB，

EA平面EAB， BCEA ， BF平面ACE，EA平面ACE， BF EA，

又BC BF=B，BC平面EBC，BF平面EBC，

EA平面EBC ， BE平面EBC， EA BE．

（2）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为
，如图建立空间直角坐标系，则
，
，

可得
是平面ACD的一个法向量，

设平面ECD的法向量为
，则
，即
，

令
，则
，所以
，

设二面角A—CD—E的平面角的大小为
，由图得
，
．

所以二面角A—CD—E的余弦值为
．

19解答： 解：（1）

∵

∴

∵
（6分）（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA

∵sinA＞0

∴cosB=

∵B∈（0，π），

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴
（12分）

20、（1）设点P（x,y）,依题意则有
，整理得：

……………5A分

（2）设
，则PQ的方程为：
，联立方程组
，

消去y整理得：，有
，

……………8分

而

………11分

由
代入化简得：

即
；当且仅当
时，取到最大值。

…………………13分

21．(1)解：
……1分因为x = 2为f (x)的极值点，所以
……2分即
，解得：a = 0 ……3分又当a = 0时，
，从而x = 2为f (x)的极值点成立． ……4分(2)解：∵f (x)在区间[3，+∞)上为增函数，∴
在区间[3，+∞)上恒成立． ……5分①当a = 0时，
在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数，

故a = 0符合题意． ……6分②当a≠0时，由函数f (x)的定义域可知，必须有2ax + 1 > 0对x≥3恒成立，故只能a > 0，所以
在区间[3，+∞)上恒成立． ……7分令
，其对称轴为
……8分∵a > 0，∴
，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，由
，解得：
……9分∵a > 0，∴
．综上所述，a的取值范围为[0，
] ……10分

(3)解：
时，方程
可化为，
．问题转化为
在(0，+∞)上有解 ……11分令
，则
…12分当0 < x < 1时，
，∴h (x)在(0，1)上为增函数当x > 1时，
，∴h (x)在(1，+∞)上为减函数故h (x)≤h (1) = 0，而x > 0，故
即实数b的最大值是0． ……14分