重庆市三峡名校联盟2014届高三12月联考数学理试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
｛x｜x=2a,
｝，则集合

A．
B．
C．
D．

2．直线
与圆
的位置关系是

A.相离 B.相切 C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心

3．曲线
在点
处的切线方程为

A.
B.
C.
D.

4．若复数
是纯虚数，则实数
的值为

A.
或
B.
C.
D.
或

5. 函数
图象交点的横坐标所在区间是

A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）

6．已知
，
在
内是增函数，则p是q的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．设数列{an}是公差不为零的等差数列，它的前n项和为Sn，且S1 S2、S4成等比数列，则
等于

A.3 B．4 C．6 D.7

8. 在
中,角
、
、
的对边分别为
、
、
,且
则角
的大小为

A.
B.
C.
D.

9. 已知
，直线
平分圆
的周长，则
的最大值为

A．6 B．4 C．3 D．

10．定义域为
的函数
图象上两点
是
图象上任意一点，其中
.已知向量
，若不等式
对任意
恒成立，则称函数
在
上“k阶线性近似”．若函数
在
上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题，共100分)

二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

11．已知双曲线
的一条渐近线方程为
则椭圆
的离心率

12.观察下列不等式

1＋<，

1＋＋<，

1＋＋＋<，

　……

照此规律，第五个不等式为______________.

13.知幂函数
的定义域为
，且单调递减，则
__________.

考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答
，若三题全做，则按前两题给分．

14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O

的弦，BA，DC的延长线交于点P.若PA =4，PC =5，则

CBD= ．

15．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线
与圆
的公共点个数是________．

16. （不等式选讲选做题）已知函数
．若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是 .

三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分13分）

已知函数

（1）当
的极值点；

（2）当
上的根的个数。

18.（本小题满分13分）

在等差数列
中，
，其前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为
，且
，
.

（1）求
与
；

（2）设数列
满足
，求
的前
项和
.

19.（本小题满分13分）

时下，网校教学越越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量
（单位：千套）与销售价格
（单位：元/套）满足的关系式
，其中
，
为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.

（1）求
的值；

（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格
的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）

20．（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，
，

且
．求：

（1）求角
的值；

（2）求
的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，
在椭圆C上，A，B为椭圆C的左、右顶点．

(1)求椭圆C的方程：

(2)若P是椭圆上异于A，B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线
相交于M1，M2.问是否存在x轴上定点D，使得以M1M2为直径的圆恒过点D?若存在，求点D的坐标：若不存在，说明理由．

22. （本小题满分12分）

已知直角
的三边长
,满足

(1)已知
均为正整数,且
成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列
,且
,求满足不等式
的所有
的值;

(2)已知
成等比数列,若数列
满足
,证明数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且
是正整数.

三峡名校联盟高2014级12月联考

数学（理科）答案

一、选择题：

DBBCC ADCAC

二．填空题：

11．
12.
13.1

14.
15． 116.

三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.解：（1）
……………………1分

令
则
， ……………………3分

在
単增，在
单减，……………………5分

的极大值点
，极小值点
……………………7分

（2）当a＝－4时，
即

设
，则
…………10分

则
在
单调递增，又

所以
在
有唯一实数根。……………………13分

18.解（1）设
的公差为
.

因为
所以
……………………3分

解得
或
（舍），
.……………………5分

故
，
. ……………………7分

（2）由（1）可知，
，……………………8分

所以
.……………………10分

故
…………13分

19.解：（1）因为
时，
，

代入关系式
，得
，

解得
. ……………………6分

（2）由（1）可知，套题每日的销售量
，

所以每日销售套题所获得的利润

……………………8分

，从而
.

令
，得
,且在
上,
，函数
单调递增；在
上，
，函数
单调递减， ……………………10分

所以
是函数
在
内的极大值点，也是最大值点，

所以当
时，函数
取得最大值.

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………13分

20. 解（1）由
得：
，……………………2分

由正弦定理得

又

，从而得
.……………………6分

（2）由（1）知：
.

…10分

又
，

……………………13分

21. 解：（1）由
得：
，
，……………………1分

从而有：

又
在椭圆
上，故有
，解得

所以，椭圆
的方程为：
.……………………4分

（2）设
，由（1）知：
.

则直线
的方程为：
，由
得
所以
；同理得：
.……………………6分

假设存在点
，使得以
为直径的圆恒过点




，即：
.

又
在椭圆
上，∴
∴
. ……………10分

代入上式得
，解得
或7.

所以，存在
或
，使得以
为直径的圆恒过点
.…………12分

22.解(1)设
的公差为
,则

设三角形的三边长为
,面积
,………2分

由
得
,

当
时,
,

经检验当
时,
,当
时,

综上所述,满足不等式
的所有
的值为2、3、4 ……………………6分

(2)证明因为
成等比数列,
.

由于
为直角三角形的三边长,知
,
,……………8分

又
,得
,

于是

,则有
.

故数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形 ………………10分

因为
,

,由数学归纳法得：

由
,同理可得
,

故对于任意的
都有
是正整数 ……………………12分