沈阳市实验中学北校2014届高三12月月考

数学（理科）

一、选择题:（本大题12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.

1.已知集合
若
,则
为.( )

A．
B．
C．
D．

2.设

若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是 ( )

3.设函数

（ ）

A．0 B．1 C．
D．5

4.若四边形
满足：
,（
）
，，则该四边形一定（ ）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形

5.设函数
的图像关于直线
对称，它的周期是
，则（ ）

A．
的图象过点
B．
在
上是减函数sj.fjjy.org

C．
的一个对称中心是
D．
的最大值是A

6.在平面直角坐标平面上，
，且
与
在直线
上的射影长度相等，直线
的倾斜角为锐角，则
的斜率为 ( )

A．
B．
C．
D．

7.已知函数
则
是 （ ）

A．单调递增函数 B．单调递减函数

C．奇函数 D．偶函数

8.已知定义在R上的函数
，其导函数
的图像如图所示，则下列叙述正确的是（）

9.函数
的大致图像为（ ）

10.已知实数a,b,c,d成等比数列，且对函数
，当x=b时取到极大值c，则ad等于（ ）

A．
B．0 C．1 D．2

11.已知
为
内一点，若对任意
，恒有
则
一定是（ ）

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定

12.若函数
图像上的任意一点
的坐标
满足条件
，则称函数
具有性质
，那么下列函数中具有性质
的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）sj.fjjy.org

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13.若命题“
”为假命题，则实数
的取值范围是　　　　　　.

14.若点
在直线
上，则

15.已知正项等比数列
若存在两项
、
使得
，则
的最小值为 ．

16.设函数
的定义域为R，若存在常数m>0，使
对一切实数x均成立，则称
为F函数．给出下列函数：

①
；②
；③
；④
；

⑤
是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2均有
．其中是F函数的序号为___________________

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分10分）

在等比数列｛
｝中，
，公比
，且
，
与
的等比中项为2．

（1）求数列｛
｝的通项公式；

（2）设
，求：数列｛
｝的前
项和为
，

18．（本小题满分12分）

如图，设
是单位圆和
轴正半轴的交点，
是单位圆上的两点，
是坐标原点，
，
．

（1）若
，求
的值；

（2）设函数
，求
的值域．

19.（本小题满分12分）

已知正项等差数列
的前
项和为
，若
，且
成等比数列.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）记
的前
项和为
，求
.

（本小题满分12分）

在△ABC中，
分别为角A、B、C的对边，
=3, △ABC的面积为6，

，D为△ABC 内任一点，点D到三边距离之和为
。

(1)求：角A的正弦值；

⑵求 ：边
；

⑶求：
的取值范围

sj.fjjy.org

（本小题满分12分）

已知函数

(I)求
的单调区间；

(II)若存在
使
求实数a的范围.

（本小题满分12分）

已知函数
（
为自然对数的底数），
（
为常数），
是

实数集
上的奇函数．

（1）求证：
；

（2）讨论关于
的方程：
的根的个数；

（3）设
，证明：
（
为自然对数的底数）．

辽宁省实验中学北校2013-2014学年度上学期阶段性测试

数学学科试题答案 （理科） 高三年级

选择题 DACBC BDCDA AC

填空题 13.
14. -2 15.
16. ①④⑤.

17．解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以，
+ 2a3a5 +
＝25

又an＞o，…a3＋a5＝5，…………………………3分

又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4

而q
（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，
，a1＝16，所以，

…………………………6分

（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，

所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。。。。。。。。。8分

所以，
…………………………10分

18.解：（Ⅰ）由已知可得
………………………………2分

………………………………3分

…………………………4分

（Ⅱ）

……………………6分sj.fjjy.org

………………………………7分

………………………………8分

………………………………9分

………………………………11分

的值域是
………………………………12分

19.解：（Ⅰ）∵
，即
，∴
，所以
，--------------------------------2分

又∵
，
，
成等比数列，

∴
，即
， --------------------------------4分

解得，
或
（舍去），

∴
，故
； ---------------------------------------6分

（Ⅱ）法1：
，

∴
， ①

①
得，
②

①
②得，

∴
． ---------------------------------------12分

20.解：(1)






-----4分

(2)

，
20,由
及
20与
=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 .-----8分

(3)设D到三边的距离分别为x、y、z，则
,
,

又x、y满足
,画出不等式表示的平面区域得：
. -----12分

21.解：函数定义域为

………2分

(I)当
时，

(0,1)

1

















在(0,1)上递减，
上递增………4分

当
时，

(0,1)

1

















0





即
在(0，1)，
递减，在
上递增………8分

(Ⅱ)存在
使
等价于

当
时，

当－l

则
显然存在
使
………11分

综上，
………12分

22.（1）证:令
,令
时

时,
. ∴

∴
即
.………4分

（2）
为R上的奇函数，

令

………8分