台州中学2014届高三上学期第三次统练数学文试题

参考公式：

球的表面积公式
棱柱的体积公式

球的体积公式
其中
表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高

其中
表示球的半径 棱台的体积公式

棱锥的体积公式
其中
，
分别表示棱台的上底、下底面积，

其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高
表示棱台的高

如果事件
，B互斥，那么

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．复数
=

A．-3 -4i B．-3+4i C．3-4i D．3+4i

2．设集合
，则满足条件
的集合P的个数是

A． 1 B．3 C．4 D．8

3．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．8 B．

C．
D．

4．等比数列{an}中，“公比q>1”是“数列{an}单调递增”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．函数
的图象

A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称

C．关于x轴对称 D．关于y轴对称

6．设变量x、y满足
则目标函数z=2x+y的最小值为

A．6 B．4 C．2 D．

7．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称甲乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为

A．
B．
C．
D．

8．已知直线
,平面
,且
,给出下列命题:

①若
∥
，则m⊥
； ②若
⊥
，则m∥
；

③若m⊥
，则
∥
； ④若m∥
，则
⊥
.其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4

9．设函数
，数列
是公差不为0的等差数列，
，则

A．0 B．7 C．14 D．21

10．已知双曲线
的左、右焦点分别是
，正三角形
的一边
与双曲线左支交于点
，且
，则双曲线
的离心率的值是

A．
　 B．
C．
D．

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．经过点A(－5,2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程

是________．

12. 执行右面的框图，若输出结果为
，则输入的实数
的值是______.

13．椭圆
的焦点到直线
的距离为 .

14.下图是样本容量为200的频率分布直方图．

根据样本的频率分布直方图估计，数据落在[2,10)内的概率约为________．

15.已知
…，若
（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= .

16．已知P是圆C：
上的一个动点，A(
,1)，则
的最小值为______.

17．给出下列五个命题中，其中所有正确命题的序号是_______.

①函数
的最小值是3

②函数
若
且
，则动点
到直线
的

最小距离是
.

③命题“函数
当

”是真命题.

④函数
的最小正周期是1的充要条件是
.

⑤已知等差数列
的前
项和为
，
为不共线的向量，又

若
，则
.

三、解答题本大题共5小题．共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）
中内角
的对边分别为
，已知
，
.

（1）求
的值；（2）若
为
中点，且
的面积为
，求
的长度.

19．（本小题满分14分）已知数列
的前
项和为
,且
,数列
满足
,且
.

(Ⅰ)求数列
、
的通项公式;

(Ⅱ)设
,求数列
的前
项和
.

20．（本小题满分14分）如图，在平面四边形ABCD中，已知

,
,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD
平面BDC，设点F为棱AD的中点．

（1）求证：DC
平面ABC；

（2）求直线
与平面ACD所成角的余弦值．




21．（本小题满分15分）已知函数
，
.若函数
依次在
处取到极值.

（1）求
的取值范围；

（2）若
，求
的值.

22．（本小题满分15分）如图,已知抛物线
的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线
与x轴交于K点.

（1）求证：KF平分∠MKN；

（2）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，求
的最小值.

台州中学2013学年第一学期第三次统练试题

数学文科参考答案

1．【答案】A

【解析】解：因为
，故选A

2．【答案】C

【解析】：
，由
得，0(P，这样的集合P共有4个，故选C

3．【答案】C

【解析】几何体是正方体截去一个三棱台，

4. 【答案】D

【解析】a1<0，q>1时,{an}递减。a1<0，0

5． 【答案】D

【解析】

是偶函数，图像关于y轴对称.

6．【答案】 C

【解析】由题意可得，在点B处取得最小值，所以z=2，故选C

7. 【答案】D

【解析】：试验包含的所有事件共有6×6=36种猜数的结果。

其中满足题设条件的有如下情形：

若a=1，则b=1，2；他们“心相近”的概率为

若a=2，则b=1，2，3；

若a=3，则b=2，3，4；

若a=4，则b=3，4，5；

若a=5，则b=4，5，6；

若a=6，则b=5，6

共16种。

故他们“心相近”的概率为P=16/36=4/9，选D

8. 【答案】B

【解析】①④对，②③错

9．【答案】D

【解析】

，即
，根据等差数列的性质得
，即

，即
，
即
，
，故选D.

10.【答案】B

11．【答案】2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0

解析：分截距为0或不为0两种情况可求2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

12. 答案：

【解析】若执行
，则
，所以不成立，

若执行
，则
，成立

13．【答案】1

14.【答案】0.4

解析 (0.02＋0.08)×4＝0.4.

15.【答案】41

【解析】照此规律：a=6,t=a2-1=35

16．【答案】2(
-1)

【解析】如图：作PQ(OA于Q，CD(OA于D，根据向量数量积的几何意义得

min=|OA|(|OQ|min=|OA|(|OT|=2 (|OD|-1)=2(
-1)

17．①③⑤【解析】在①中，函数的定义域是
解得：
，当
时，
是减函数，
当
时

是增函数，
所以
，
.①正确.

在②中，由图像知，
，

，即
，则动点
的轨迹是以

为圆心，半径
的圆（虚线），所以点
到直线
的最小距离是
（
是点
到直线的距离），
，
，因为是点
的值取不到，所以
也不能取到最小值.故②错.

在③中，函数
是偶函数，且
时，

即
是增函数，当
时，
，故③正确.

在④中，由
整理得，

，函数的周期
故④错误.

在⑤中，由
知，
三点共线，且
所以

所以
，故⑤正确.

18．解：（1）由
，得
，由正弦定理得
，

……………………………7分

（2）
，
。

由
的面积为
，
，得
，

，
.……………………………14分

19．【解析】 (Ⅰ)当
,
;

当
时,
,∴
,

∴
是等比数列,公比为2,首项
, ∴

由
,得
是等差数列,公差为2

又首项
,∴

(Ⅱ)

20．【解析】（1）证明：在图甲中∵
且
∴
,

即

在图乙中，∵平面ABD
平面BDC ， 且平面ABD
平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．

又
，∴DC⊥BC,且

∴DC
平面ABC． ……………………　7分

（2）解：作BE⊥AC，垂足为E。

由（1）知平面ABC⊥平面ACD，又平面ABC
平面ACD=AC，∴BF⊥平面ADC，

∴
即为直线
与平面ACD所成角

设
得AB=
，AC=

∴
，
，
∴
∴直线
与平面ACD所成角的余弦值为
。……..14分

21． 【解析】

（1）①

②

22. 【解析】解：（1）抛物线焦点坐标为
，准线方程为
…………….2分

设直线MN的方程为
。设M、N的坐标分别为

由
, ∴
……..4分

设KM和KN的斜率分别为
，显然只需证
即可. ∵

∴
……………………6分

（2）设M、N的坐标分别为
，由M，O，P三点共线可求出P点的坐标为
，由N，O，Q三点共线可求出Q点坐标为
，…………7分

设直线MN的方程为
。由

∴
则

……………9分

又直线MN的倾