湖北省部分重点高中2014届高三十一月联考

数学（文）试题

时间：2013年11月15日 下午：15：00—17：00

本试题卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数
= ( )

A．-4+ 2i B．4- 2i C．2- 4i D．2+4i

2．己知集合
，则
= ( )

A．（0,2） B．[0,2] [来源:Zxxk.Com]

C．{0,2} D．{0,1,2}

3．执行右面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 ( )

A．1 20 B．720

C．1440 D．5040

4．将函数
的图象向左平移
个单位, 再向上

平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( ).o.m

A.
B.

C.
D.

5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸

（单位：cm）。可得这个几何体的体积是( ) w.w.w.k.

A．
B．

C．
D．

6．已知m，n是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是 ( ) w.w.w.k

A．若
B．若
则

C．若
D．若

7．设p是
所在平面内的一点，
，则 ( ) w.w.w.k

A.
B.

C.
D.

8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 ( )

A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m

9． 已知F1,F2是椭圆
的左、右焦点，点P在椭圆上，且
记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( ) w.w.w.k

A．
B．
C．
D．

10．规定[x]表示不超过x的最大整数，f（x）=
，若方程

f（x）=ax+1有且仅有四个实数根，则实数a的取值范围是 ( ) w.w.w.k

A．
B．
C．

D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据

频率之比为2：3：4：6：4
：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。

12．在等差数列
中,
,则
.

13．已知向量
，
，则
在
方向上的投影等于 ．

14．已知圆M：x2+y2=4，在圆M上随机取一点P，则P到直线x+y=2的距离大于
2
的概率为 ．

15．设△
的内角
,
,
所对的边分别为
,
,
. 若三边的长为连续的三个正整数,且
,
,则

等于 .

16．设正实数x,x,z满足
，则当
取得最大值时，
的最大值为 ．

17．已知数列{an}、{bn}，且
通项公式分别为an=3n﹣2，bn=n2，现抽出数列{an}、{bn}中所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新的数列{cn}，则可以推断：

（1）c50= （填数字）；

（2）c2k﹣1= （用k表示）．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

[来源:学§科§网]

19．（本小题满分12分）

已知等差数列
的公差d大于0，且a3，a5是方程
的两根，数列
的前
项和为
.

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求数列{Cn}的前n项和Tn.

20．（本小题满分13分）

如图，矩形
中，
，
．
，
分别在线段
和
上，
∥
，将矩形
沿
折起．记折起后的矩形为
，且平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）求四面体
体积的最大值．

[来源:Z。xx。k.Com]

21．（本小题满分14分）

已知椭圆
的两个焦点分别为
，
.点
与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知点

的坐标为
，点
的坐标为
.过点
任作直线
与椭圆
相交于
，
两点，设直线
，
，
的斜率分别为
，
，

，若
，试求
满足的关系式.

22．（本小题满分14分）

已知函数
（
，
为自然对数的底数）．

（1）当a≠0时，直线
是曲线
的切线，求
关于
的函数关系式。

（2）求函数
的极值；

（3）当
时，若直线
与曲线
没有公共点，求
的取值范围。

2014届高三十一月联考数学（文）试题参考答案

1—10 ADBAC BBDDB

11． 60 12．13. 13．
14．

15． 6：5：4 16．

17．c50=（3?
﹣1）2=742=5476 c2k﹣1=（3?
﹣2）2=（3k﹣2）2

18:

∴
,

………11分

,∴
，
． ………12分

19.（1）因为
是方程
的两根，且数列
的公差
，所以
，公差
.所以
. （2分）

又当
时，有
，所以
.

当
时，有
，所以
.

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，

所以
. （6分）

（2）由（1）知
，
，（8分）

则

，①[来源:学科网]

，②

由①-②，得


，

整理得
. （12分）

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为四边形
，
都是矩形，

所以
∥
∥
，
．

所以 四边形
是平行四边形，……………2分

所以
∥
， ………………3分

因为
平面
，

所以
∥平面
． ………………4分

（Ⅱ）证明：连接
，设
．

因为平面
平面
，且
，

所以
平面
，
………5分

所以
． ………6分

又
， 所以四边形
为正方形，所以
． …………7分

所以
平面
， ………8分

所以
． ………9分

（Ⅲ）解：设
，则
，其中
．

由（Ⅰ）得
平面
，

所以四面体
的体积为
． ………11分

所以
．

当且仅当
，即
时，四面体
的体积最大． …………13分

21．（本小题满分14分）

解: （Ⅰ）依题意，
，
， 所以
.

故
椭圆
的方程为
. ……………4分

（Ⅱ）①当直线
的斜率不存在时，由
解得
.

不妨设
，
，

因为
，又
，所以
，

所以
的关系式为
，即
. ………7分

②当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
.

将
代入
整理化简得，
.

设
，
，则
,
.
………9分[来源:学科网ZXXK]

又
，
.

所以

………12分

所以
，所以
，所以
的关系式为
.………13分

综上所述，
的关系式为
. ………14分

22．解：（Ⅰ）由
，得
．解得k=1-ae． ……4分

（Ⅱ）
，

①当
时，
，
为
上的增函数，所以函数
无极值．

②当
时，令
，得
，
．

，
；