选择题

1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(　　)

(A)任意一个有理数,它的平方是有理数

(B)任意一个无理数,它的平方不是有理数

(C)存在一个有理数,它的平方是有理数

(D)存在一个无理数,它的平方不是有理数

2.设0

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

3.设
是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则
＋
＝（ ）

A、3　　　 B、2 C、1 D、0

4．若
，
，
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于(　　)

(A)2n-1 (B)(
)n-1 (C)(
)n-1 (D)

6.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为(　　)

(A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830

7.等差数列
中，
，
，则其前n项和
取最大值时等于（ ）

A．503 B．504 C．503或504 D．504或505

8．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)．

A．(－1,1) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

9.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)

A．3 B． 4 C．5 D．6

10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)

A．－13 B．－15 C．10 D．15

二．填空题

11. Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝-------

12、数列
满足递推公式
又
，则使得
为等差数列的实数
的值为 ．

13、设向量
，
满足
，
，且
与
的方向相反，则
的坐标为 。

14.对于正项数列，定义Hn＝为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列的通项公式为________．

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a-b)sinB＝asinA－csin C．且a2＋b2－6(a+b)＋18＝0，
＝──────

16.设{an}是集合{2t＋2s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的 数按从小到大的顺序排成的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6=12………将数列{an}中的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表，则这个三角形数表的第n行的数字之和是________．

17.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）

三．解答题

18.设函数f(x)＝4cos sin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.

(1)求函数y＝f(x)的值域；

(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值．

19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝1－an(n∈N*)．

(1)试求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足：bn＝(n∈N*)，试求{bn}的前n项和Tn.

20.已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋＋…＋(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn.

21.在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．

(1)证明数列是等差数列；

(2)求数列{an}的通项；

(3)若λan＋≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

22.已知函数f(x)＝x2－2eln x．(e为自然对数的底数)

(1)求f(x)的最小值；

(2)是否存在常数a，b使得x2≥ax＋b≥2eln x对于任意的正数x恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

19.解：(1)∵Sn＝1－an　①，∴Sn＋1＝1－an＋1　②，

②－①得an＋1＝－an＋1＋an，∴an＋1＝an，n∈N*.

又n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝，

∴an＝·n－1＝n，n∈N*.

(2)由(1)及已知得bn＝＝n·2n，n∈N*，

∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n　③，

∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1　④，

③－④得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，

整理得Tn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*.

20.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意知d＞0，由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16，①

由a3a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55，②

由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，

即256－9d2＝220.∴d2＝4，又d＞0，

∴d＝2，代入①得a1＝1，

∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.

(2)当n＝1时，a1＝，∴b1＝2.

当n≥2时，an＝＋＋＋…＋＋，

an－1＝＋＋＋…＋，

两式相减得an－an－1＝，∴bn＝2n＋1，

∴bn＝.

当n＝1时，S1＝b1＝2；

当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋＝2n＋2－6，

当n＝1时上式也成立．

综上，当n为正整数时，Sn＝2n＋2－6.

21.解：(1)证明：由3anan－1＋an－an－1＝0

∴3＋－＝0

∴－＝3，而＝1

∴是以1为首项，公差为3的等差数列．

(2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2

所以an＝.

(3)λan＋≥λ对n≥2的整数恒成立，

即＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立，

整理得λ≤，

令cn＝，

cn＋1－cn＝－

＝.

因为n≥2，所以cn＋1－cn＞0，即数列{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c2＝.所以λ的取值范围为.

22.解：(1)f′(x)＝2x－(x＞0)

令f′(x)＝0，得x2＝e，所以x＝.

当0＜x＜时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，)上是减函数；

当x＞时，f′(x)＞0，所以f(x)在(，＋∞)上是增函数．

故函数f(x)在x＝处取得最小值f()＝0.

(2)由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f()＝0，

即x2≥2eln x，当且仅当x＝时，等号成立．

即曲线y＝x2和y＝2eln x有唯一公共点(，e)．

若存在a，b，使得直线y＝ax＋b是曲线y＝x2和y＝2eln x的公切线，切点为(，e)．

由(x2)′＝2x，得直线y＝ax＋b的斜率a＝2.

又直线y＝ax＋b过点(，e)，所以e＝2·＋b，得b＝－e.

故存在a＝2，b＝－e，使得x2≥ax＋b≥2eln x对于任意的正数x恒成立．