湖北省部分重点高中2014届高三十一月联考

数学（理）试题

时间：2013年11月
15日 ?下午：15:00-17:00

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合
，
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2. 复数
（
为虚数单位）的虚部是 （　　）

A．
B．
C．
D．

3. 下列命题中是假命题的是 （　　）

A．

上递减

B．

C．
;

D．
都不是偶函数

4. 若曲线
与曲线
在交点
处有公切线，
（　　）

A．
B．
C．
D．

5. 等差数列
的前n项和为
,且满足
,则下列数中恒为常数的是（　　）

A.
B.
C.
D.

6. 函数
的部分图象如右图所示,设
是图象的最高点,
是图象与
轴的交点,记
,则
的值是（　　）

A．
B．

C．
D．

7. 某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（　　）



A．
B．
C．
D．

8、八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好三个连续的小球涂红色，则涂法共有 （　　）

A．24种 B．30种 C．20种 D．36种

9、如图，偶函数
的图像形如字母M，奇函数
的图像形如字母N，若方程：

的实根个数分别为a、b、c、d，则
= （　　）

A． 27 B． 30 C．33 D． 36



10、定义
表示不超过
的最大整数，记
，其中对于
时，函数
和函数
的零点个数分别为
则（　　）

A．

B．

C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

(一)必考题（11—14题）

11、若框图（右图）所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入

的关
于
的条件是___________.

12、已知
，A是曲线
与
围成的区域，

若向区域
上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为

13、已知各项全不为零的数列
的
前
项和为
，且
＝

),其中
=1.则

14、正方体
的棱长为
，
是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），
为正方体表面上的动点，当弦
最长时，
的取值范围是 .

选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）

15、（选修4-1：几何证明选讲）
是半圆
的直径，点
在半圆上，
，垂足为
，且
，设
，则
的值为 .

16、（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系
中，直线l的参数方程为
. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为
，则圆心C到直线l距离为

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、已知
与
共线，其中A是△ABC的内
角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.

18、
是指大气中直径小于或等于
微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它对空气
质量和能见度等有重要的影响。我国从
的含量对空气质量评定的标准如表1所示.某市环保部门从2013年全年每天的
监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示。

(Ⅰ) 从这15天的数据中任
取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数
，求
的分布列和数学期望；

(Ⅱ) 以这15天的
日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.

我国空气质量表






均值（微克/立方米）




均值范围

（微克/立方米）

空气质量级别



2

3

4

6[来源:学科网]

7

8

9

5 8

1 7 3 4

4 5

8 3[来源:Z#xx#k.Com][来源:学科网][来源:学科网ZXXK]

7 9

3 6

2[来源:学科网ZXXK]

















Ⅰ























Ⅱ





















大于75

超标









表1



图





19、如图，在四棱锥
中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD,E为PC中点，底面ABCD是直角梯形， AB∥CD，∠ADC=90°, AB=AD=PD=1，CD=2．

(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)求证：BC⊥平面

(Ⅲ)设Q为侧棱PC上一点，
，试确定λ的值，

使得二面角Q—BD—P的
大小为45°

20、数列
满足
，
（
）.（1）设
，求数列
的通项公式
；（2）设
，数列
的前
项和为
，求
.

21、已知圆O：
，直线l：
与椭圆C：
相交于P、Q两点，O为原点．（Ⅰ）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且
，求直线l的方程；（Ⅱ）如图，若
重心恰好在圆上，求m的取值范围．

22、已知函数
，当
时，函数
取得极大值.

（1）求实数
的值；

（2）已知结论：若函数
在区间
内导数都存在，且
，则存在
，使得
.试用这个结论证明：若
，函数
，则对任意
，都有
；

（3）已知正数
满足
求证：当
，
时，对任意大于
，且互不相等的实数
,都有

2014届高三十一月联考数学(理科)试题参考答案

CBDC
D AAABB

11. k<9? 或者k<=8? 12. 1/12 13.

14 .

15．
16．

17.解：（1）因为m//n,所以
.

所以
，即
，

即
. …………………4分

因为
, 所以
. 故
，
.……6分

（2）由余弦定理，得
.

又
， …………………8分

而
，（当且仅当
时等号成立） …………10分

所以
. ………………………11分

当△ABC的面积取最大值时，
.又
，故此时△ABC为等边三角形.…12分

18.解：（1）依据条件，
的可能值为
，
(1分)

当
时，
，(2分)

当
时，
(3分)

当
时，
，(4分)

当
时，
(5分)

所以其分布列为：



1





















(6分)

数学期望为：

(7分)

（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为