浙江省浙北名校联盟2014届高三上学期期中联考数学理试题

命题人：

考试说明：

1、本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

2、本卷共150分，考试用时120分钟。

3、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.复数
（
为虚数单位）＝

（A）
（B）
（C）
（D）

2.已知全集
，集合
，则
＝

（A）
（B）
（C）
（D）

3.设实数
满足约束条件
则
的最大值为

（A）－1 （B）
（C）5 （D）11

4.已知

,则“
”是“
”成立的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）4 （B）8 （C）
（D）

6.已知函数
为偶函数，且
在
上递减，设
，
，
，则
的大小关系正确的是

（A）
（B）
（C）
（D）

7.过双曲线
上任意一点
，作与实轴平行的直线，交两渐近线于
、
两点，若
，则该双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

8.在等腰△
中，
是腰
的中点，若
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

9.已知
，
，若
与
的夹角为
，则
的最大值为

（A）
（B）
（C）
（D）

10.已知
，若
，则实数
的取值范围为

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．已知函数
，则
▲ .

12．
的展开式中各项二项式系数的和为64，则该展开式中的常数项为 ▲ .

13．某程序框图如图所示，则输出的结果为 ▲ .

14．已知等差数列
的前
项的和为
，且
，
，则使

取到最大值的
为 ▲ .

15．已知直线
与圆
：
在第一象限内相切于点
，并且分别与
轴相交于
两点，则
的最小值为 ▲ .

16．一袋中装有分别标记着1，2，3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到的可能性相同），现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为
，设
，则
▲ .

17．已知关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围为 ▲ .

三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
,求数列
的前
项和
.

19．（本题满分14分）

在△
中，角
的对边分别为
，
.

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）求函数

的值域.

20．（本题满分14分）

已知在长方体
中，点
为棱
上任意一点，

，
.

（Ⅰ）求证：平面

平面
；

（Ⅱ）若点
为棱
的中点，点
为棱
的中点，求二面角
的余弦值.

21．（本题满分15分）

已知椭圆
的焦点为

，

，且经过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设过
的直线
与椭圆
交于
、
两点，问在椭圆
上是否存在一点
，使四边形
为平行四边形，若存在，求出直线
的方程，若不存在，请说明理由.

22．（本题满分15分）

已知函数
（其中
是实数）.

(Ⅰ)求
的单调区间；

(Ⅱ)若
，且
有两个极值点
，求
的取值范围．

（其中
是自然对数的底数）

2013学年第一学期联盟学校高三期中联考

数学（理）试卷

参考答案与评分意见（2013.11）

一.选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

二．填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分，请将答案写在答题卷上）

11．
12．135
　 13．106　 14．8或9 15．2 16．
17．

三、解答题：（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18. （本题14分）

（Ⅰ）当
时，
， ………………………………1分

当
时，
………………………………3分

即：
，
数列
为以2为公比的等比数列 ………………………………5分

………………………………7分

（Ⅱ）
………………………………9分

………………………………11分

两式相减，得

………………………………13分

………………………………14分

19. （本题14分）

（Ⅰ）
,而
………………………………3分

………………………………5分

………………………………7分

（Ⅱ）
………………………………8分

………………………………9分

………………………………11分

………………………………13分

的值域为
………………………………14分

20. （本题14分）

（Ⅰ）
为正方形
………………………………2分

平面

………………………………4分

又

平面

平面
平面
………………………………6分

（Ⅱ）建立以
为
轴，以
为
轴，以
为
轴的空间直角坐标系

………………………………7分

设平面
的法向量为

………………………………9分

设平面
的法向量为

………………………………11分

………………………………13分

二面角
的余弦值为
………………………………14分

21．（本题15分）

（Ⅰ）
………………………………3分

， ………………………………5分

椭圆
的方程为
………………………………7分

（Ⅱ）假设存在符合条件的点
,

设直线
的方程为
………………………………8分

由
得:
，

，

的中点为
………………………………10分

四边形
为平行四边形

与
的中点重合，即：

………………………………13分

把点
坐标代入椭圆
的方程得:

解得
………………………………14分

存在符合条件的直线
的方程为：
………………………………15分

22．（本题15分）

(Ⅰ)
………………………………1分

当
，即
时，

的增区间为
………………………………3分

②当
时，

………………………………5分

的增区间为
，

减区间为
………………………………7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，
在
内递减

………………………………8分

，

而
在
上递减，

………………………………10分

…………………12分

令

在
上递减 ………………………………14分

………………………………