杭州二中2013学年第一学期高三年级期中考试数学试卷

注意事项：考试时间：120分钟；满分：150分。本场考试不得使用计算器，请考生用水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。

一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1. 设
为向量，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2．在△ABC中，
＝3，
＝2，
＝，则△
的面积为(　　)

A．3 B．2 C．4 D.

3. 已知函数
，则下列结论正确的是（ ）

Ａ.
Ｂ.

Ｃ.
Ｄ.

4．将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，则
是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．若
，且
为第二象限角，则
（ ）sj.fjjy.org

A．
B．
C．
D．

6.若数列
的通项公式分别是
且
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设函数f(x)=x2－23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|，则g(1)+g(2)+…+g(20)=（ ）

A．0 B．38 C． 56 D．112 sj.fjjy.org

8．设函数
有三个零点
，且
则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知
,若
时，
有最小值
，则
的最小值为（ ）

A.1 B.
C.1或2 D. 2或

10．已知定义在
上的函数
，则 ( )

A.在
上，方程
有5个零点

B.关于
的方程
（
）有
个不同的零点

C.当
（
）时，函数
的图象与
轴围成的面积为

D.对于实数
，不等式
恒成立

二．填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）

11.已知
则
的值是 .

12.平面向量
的夹角为
，
.

13.函数
且
的最小值等于
则正数
的值为 .

14.已知正实数
满足
，则
的最小值为 .

15.记数列
的前
和为
，若
是公差为
的等差数列，则
为等差数列时,
的值为 .

16.设实数
、
、
、
中的最大值为
，最小值
，设
的三边长分别为
，且
，设
的倾斜度为

，设
，则
的取值范围是 .

17.已知向量
满足
，
，
.若对每一确定的
，
的最大值和最小值分别是
，则对任意
，
的最小值是 .

三．解答题（本大题有5小题，共72分）

18. （本题满分14分）

已知集合
，集合
，集合
.命题

，命题

(Ⅰ)若命题
为假命题，求实数
的取值范围；

(Ⅱ)若命题
为真命题，求实数
的取值范围.

19. （本题满分14分）

在数列
中，点
在直线
上，数列
满足条件：

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)若
求
成立的正整数
的最小值.

20.（本题满分14分）

已知函数
.

(Ⅰ)当
时，求函数
的最小值和最大值

(Ⅱ)设△ABC的对边分别为
，且
，
,若
，求
的值.

21．（本小题满分15分）

已知函数
.

(Ⅰ)是否存在点
，使得函数
的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数

的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(Ⅱ)定义
，其中
，求
；sj.fjjy.org

（Ⅲ）在（2）的条件下，令
，若不等式
对
，且
恒成立，求实

数
的取值范围.

22．（本小题满分15分）

已知函数
的定义域为
，若
在
上为增函数，则称
为“一阶比增函数”；

若
在
上为增函数，则称
为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的

集合记为
，所有“二阶比增函数”组成的集合记为
. sj.fjjy.org

(Ⅰ)已知函数
，若
且
，求实数
的取值范围；

(Ⅱ)已知
，
且
的部分函数值由下表给出，








sj.fjjy.org















 求证：
；

(Ⅲ)定义集合

请问：是否存在常数
，使得
，
，有
成立？若存在，求出
的

最小值；若不存在，说明理由.

杭州二中2013学年第一学期高三年年级期中考试数学答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

C

C

B

B

C

D

C

B

D





填空题

12.1 13.1 14.

15.1或
16.
17.

解答题

18.解;
,
,

(Ⅰ)由命题
是假命题，可得
，即得
.

(Ⅱ)

为真命题，

都为真命题，

即
且

有
，解得
.

19.解: (Ⅰ)依题意

又
而
，
数列
是以2为首项，2为公比的等比数列.

即得
，为数列
的通项公式. -------6分

(Ⅱ)由

上两式相减得

由
，即得
，

又当
时，
，当
时，

故使
成立的正整数的最小值为5. -------14分

20.解: (Ⅰ)

由
，

的最小值为
-------7分

(Ⅱ)由
即得
，而又
，

则
，

，则由

解得
. ----------14分

21.（1）假设存在点
，使得函数
的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数
的图像上，则函数
图像的对称中心为
.

由
，得
，

即
对
恒成立，所以
解得

所以存在点
，使得函数
的图像上任意一点
关于点M对称的点
也在函数
的图像上. -------5分

（Ⅱ）由（1）得
.

令
，则

.

因为
①，

所以
②，

由①+②得
，所以
.

所以
.-------10分

（Ⅲ）由（2）得
，所以
.

因为当
且
时，
.

所以当
且
时，不等式
恒成立
.

设
，则
.

当
时，
，
在
上单调递减；sj.fjjy.org

当
时，
，
在
上单调递增.

因为
，所以
，

所以当
且
时，
.

由
，得
，解得
.

所以实数
的取值范围是
.-------15分

22.解：(Ⅰ)
且
即
在
上是增函数，


分

而
在
不是增函数，而
当
是增函数时
，

不是增函数时，
，综上

分.

(Ⅱ)
且

，则

，同理
，则有

，
，又
，

而
，
，

分.

(Ⅲ)

对任意
,存在常数
，使得
，对
成立.先证明
对
成立，假设存在
，使得
，记
.

是二阶比增函数，即
是增函数，
时，
，
，

一定可以找到一个
，使得
，这与对
，
矛盾.
分

对
成立. 即任意
，
对
成立.sj.fjjy.org

下面证明
在
上无解:假设存在
，使得
，一定存在
，

，这与上面证明的结果矛盾，
在
上无解.

综上，对任意
，
对
成立，存在
，任意
，

有
成立，
.
.