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试卷类型：B 2014届高三月考试题五 数学 适用地区：新课标地区 考查范围：必考全部内容（集合、简易逻辑、函数、导数、数列、三角、向量、不等式 、解析几何、立体几何、排列、组合、二项式定理、概率统计、复数，算法，推理证明） 建议使用时间：2013年12月底 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 【湖北省襄阳市2013届高三第一次调研考试数学理】若集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知，所以.故选C. 2. 【湖北省黄冈市2013届高三年级3月份质量检测数学文】命题“”为真命题的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，则.所以.故命题“”为真命题的一个充要条件是“”，故命题“”为真命题的一个充分不必要条件是.故选C. 3. （黑龙江省哈尔滨市第六中学2012届高三第三次模拟考试数学文）为了得到函数的图象,可以将函数的图象（ ） A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 【答案】B 【解析】将的图象向右平移个单位得的图象，所以选择D. 4. [2013·广东卷] 某四棱台的三视图如图1－1所示，则该四棱台的体积是( ) 图1－1 A．4 B. C. D．6 【答案】B [解析] 棱台的上底、下底分别是边长为1和2的正方形，高为2，故V台＝(S上＋＋S下)h＝，故选B. 5. 【2012高考真题山东理6文7】执行如图1－1所示的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 图1－1 【答案】B 【解析】当n＝0时，P＝1，Q＝3，P 6. [2013·山东卷] 过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( ) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 【答案】A [解析] 方法一：设点P(3，1)，圆心为C，设过点P的圆C的切线方程为y－1＝k，由题意得＝1，解之得k＝0或，即切线方程为y＝1或4x－3y－9＝0.联立 得一切点为，又∵kPC＝＝，∴kAB＝－＝－2，即弦AB所在直线方程为y－1＝－2，整理得2x＋y－3＝0. 方法二：设点P(3，1)，圆心为C，以PC为直径的圆的方程为＋y＝0，整理得x2－4x＋y2－y＋3＝0，联立①，②两式相减得2x＋y－3＝0. 7.[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【答案】D [解析] a－b＝log36－log510＝(1＋log32)－(1＋log52)＝log32－log52>0， b－c＝log510－log714＝(1＋log52)－(1＋log72)＝log52－log72>0， 所以a>b>c，选D. 8. [2013·全国卷] 已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 【答案】B [解析] (m＋n)⊥(m－n)(m＋n)·(m－n)＝0m2＝n2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3. 9.（理）【湖北省黄冈市2013届高三年级3月份质量检测】已知等差数列的公差和首项都不等于0，且成等比数列，则 A.2 B.3 C.5 D. 7 【答案】B 【解析】由成等比数列，得，即，化简得.故.故选B. （文）【2012高考真题江西文5】观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( ) A.76 B.80 C.86 D.92 【答案】B 【解析】个数按顺序构成首项为4，公差为4的等差数列，因此|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为4＋4(20－1)＝80，故选B. 10. 【2012高考真题山东文11】已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( ) A.x2＝y B.x2＝y C.x2＝8y D.x2＝16y 【答案】D 【解析】由双曲线－＝1的离心率为2得c＝2a，又因为抛物线焦点到双曲线渐近线ay＝±bx的距离＝＝2，所以p＝8，即抛物线C2的方程为x2＝16y. 11. [2013·安徽卷] 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A [解析] 因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0且3x2＋2ax＋b＝0的两根分别为x1，x2，所以f(x)＝x1或f(x)＝x2， 当x1是极大值点时，f(x1)＝x1，x2为极小值点，且x2>x1，如图(1)所示，可知方程f(x)＝x1有两个实根，f(x)＝x2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3个不同实根； 当x1是极小值点时，f(x1)＝x1，x2为极大值点，且x2 综合以上可知，方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3个不同实根． 12.（理）【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( ) A.232 B.252 C.472 D.484 【答案】C 【解析】法一：(排除法)先从16张卡片选3张，然后排除所取三张同色与红色的为2张的情况，C－4C－CC＝560－88＝472. 法二：有红色卡片的取法有CCCC＋CCC，不含红色卡片的取法有CCC＋CCC，总共不同取法有CCCC＋CCC＋CCC＋CCC＝472. （文）【2012高考真题山东文12】设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx.若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( ) A.x1＋x2>0，y1＋y2>0 B.x1＋x2>0，y1＋y2<0 C.x1＋x2<0，y1＋y2>0 D.x1＋x2<0，y1＋y2<0 【答案】B 【解析】当y＝f(x)的图象与y＝g(x)图象有且仅有两个不同的公共点时，其图象为 作出点A关于原点的对称点C，则C(－x1，－y1)，由图象知－x1 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上. 13. (2012届宁夏银川一中第二次模拟考试数学文) ，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】或，解得或. 14. [2013·广东卷] 在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________． 【答案】20 [解析] 方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，而3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝2(2a1＋9d)＝20. 方法二：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20. 15.（理）（山东省潍坊市2012届高三第二次模拟考试数学理）的展开式中项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是 . 【答案】64 【解析】易知的展开式中，项的系数分别是10，5，所以的展开式中项的系数是，所以有，解得，所以令中的即可得展开式的所有项系数的和，因此有. （文）（黑龙江省哈尔滨市第六中学2012届高三第三次模拟考试数学文）若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆内的概率为 . 【答案】 【解析】区域的可行域如下图所示，故所求事件的概率为. 16.（山东省潍坊市2012届高三第二次模拟考试数学文理）下列命题： ①函数在上是减函数； ②点A（1，1）、B（2，7）在直线两侧； ③数列为递减的等差数列，，设数列的前n项和为，则当 时，取得最大值； ④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）. 【答案】②④ 【解析】对①，，从而可知函数在上是增函数，为假命题； 对②,由可知,点A（1，1）、B（2，7）在直线两侧，为真命题； 对③，由，得，又数列单调递减，所以当或时，取得最大值，为假命题； 对④，由定义可知，故.则.所以函数在点处的切线方程为，化为一般式为，为真命题. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17.（本小题满分10分） [2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值． 【解】(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B. 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac. 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos . 又a2＋c2≥2ac，故 ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立． 因此△ABC面积的最大值为＋1. 18.（本小题满分12分） （理）[2013·山东卷] 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率； (2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望． 【解】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝3＝， P(A2)＝C21－×＝， P(A3)＝C21－2×＝. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4， 由题意，各局比赛结果相互独立， 所以P(A4)＝C1－22×1－＝， 由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3. 根据事件的互斥性得 P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝ P(A1)＋P(A2)＝. 又P(X＝1)＝P(A3)＝. P(X＝2)＝P(A4)＝， P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. （文）【2013高考真题山东文】某小组共有五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2） 如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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