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试卷类型：A 2014届高三月考试题四 数学 适用地区：新课标地区 考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、统计、统计案例、计数原理（仅理科有），概率、随机变量及其分布（仅理科有） 建议使用时间：2013年11月底 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. [2013·天津卷] 已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( ) A．(－∞，2] B．[1，2] C．[－2，2] D．[－2，1] 【答案】D [解析] A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}． 2.（2012年4月9日大连沈阳联合考试数学文理）下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字表示的意义是这台自动售货机的销售额为( ) A.元 B.元 C.元 D.元 【答案】C 【解析】树干表示的是十位数字，故7表示为27. 3.（理）（2012届北京东城二模理）的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】展开式中的通项为，令，得.所以展开式中的常数项为. （文）[2013·重庆卷] 若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 6．A [解析] 因为f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，所以f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以函数的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内，故选A. 4.（东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试（2012长春三模）数学文）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（ ）
相关系数为 相关系数为
相关系数为 相关系数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知. 5. [2013·江西卷] 等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( ) A．－24 B．0 C．12 D．24 【答案】A [解析] (3x＋3)2＝x(6x＋6)得x＝－1或x＝－3.当x＝－1时，x，3x＋3，6x＋6分别为－1，0，0，则不能构成等比数列，所以舍去；当x＝－3时，x，3x＋3，6x＋6分别为－3，－6，－12，且构成等比数列，则可求出第四个数为－24. 6.(河北省石家庄市2012届高中毕业班第二次模拟考试数学文理)从某高中随机选取5名高三男生，其 身高和体重的数据如下表所示： 根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为 （ ） A.70.09 B.70.12 C.70.55 D.71.05 【答案】B 【解析】，.因为回归直线过点，所以将点(170,69)代入回归直线方程，得，故回归方程为.代入cm，得其体重为70.12kg. 7. [2013·浙江卷] 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B [解析] f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数的充要条件是f(0)＝0，即cos φ＝0，φ＝kπ＋，k∈Z，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件，故选择B. 8.（理）(河北省石家庄市2012届高中毕业班第二次模拟考试数学理) 的展开式中的常数项为（ ） A.-60 B.-50 C.50 D.60 【答案】D 【解析】展开式的通项为，令,解得.故常数项为. （文）（2012年4月9日大连沈阳联合考试数学文）若利用计算机在区间上产生两个不等的随机数和，则方程有不等实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方程可化为，因其有两个不等实数根，所以，以为横轴，为纵轴，建立平面直角坐标系如下图所示，区域即为阴影区域.故由几何概型得，所求事件的概率为. 9. [2013·湖北卷] 将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】B [解析] 结合选项，将函数y＝cos x＋sin x＝2sin的图像向左平移个单位得到y＝2sin＝2cos x，它的图像关于y轴对称，选B. 10. [2013·湖南卷] 若变量x，y满足结束条件则x＋2y的最大值是( ) A．－ B．0 C. D. 【答案】C [解析] 根据题意，画出x，y满足的可行域，如图， 可知在点C处x＋2y取最大值为. 11. [2013·四川卷] 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C [解析] 设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意满足条件的关系式为－2≤x－y≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为＝. 12.（2012届北京东城二模文）设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以 为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则.根据抛物线的定义知,点到准线的距离大于4，即，所以. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上. 13. (宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学文)已知(2,3),=(-1,5)，则=_________. 【答案】 【解析】. 14.[2013·辽宁卷] 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________． 图1－3 【答案】16π－16 [解析] 由三视图可以得到原几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V＝4π×4－16＝16π－16. 15.（2012届北京东城二模文）将容量为的样本中的数据分成组，若第一组至第六组数据的频率之 比为且前三组数据的频数之和等于，则的值为 . 【答案】 【解析】根据已知条件知，所以. 16. [2013·福建卷] 椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________． 【答案】－1 [解析] 如图，△MF1F2中，∵∠MF1F2＝60°，∴∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，|MF2|＝c，∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，得e＝＝＝－1. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.（本小题满分10分） [2013·辽宁卷] 设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 【解】 (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x. |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sin x＝，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋. 当x＝∈时，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值为. 18.（本小题满分12分） [2013·江西卷] 正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<. 【解】(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得 [Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 综上，数列{an}的通项为an＝2n. (2)证明：由于an＝2n，bn＝， 则bn＝＝. Tn＝ ＝<＝. 19.（本小题满分12分） (理)[2013·湖北卷] 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0. (1)求P0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ (2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？ 【解】(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700 由正态分布的对称性，可得 P0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800 ＝＋P(700 (2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y，依题意，x，y还需满足： x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥P0. 由(1)知，P0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥P0等价于36x＋60y≥900，于是问题等价于求满足约束条件 且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y值． 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)． 由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值，故应配备A型车5辆，B型车12辆． (文) [2013·北京卷] 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天． 图1－6 (1)求此人到达当日空气重度污染的概率； (2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 【解】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)． 根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝(i≠j)． (1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8. 所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝. (2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且 P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11) ＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝， P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13) ＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝， P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 20.（本小题满分12分） （理）[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图1－3所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB. (1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)求二面角D－A1C－E的正弦值． 图1－3 【解】(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF. 因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC. 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)． 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则 即 可取n＝(1，－1，－1)． 同理，设m为平面A1CE的法向量，则 可取m＝(2，1，－2)． 从而cos〈n | ||||||||||||||||||||||||||||||
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