2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：导数

一、选择题

 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数
,下列结论中错误的是 （　　）

A．
R,
B.函数
的图像是中心对称图形

C．若
是
的极小值点,则
在区间
上单调递减

D．若
是
的极值点,则

【答案】C

 ．（2013年高考大纲卷（文））已知曲线
（　　）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

 ．（2013年高考湖北卷（文））已知函数
有两个极值点,则实数
的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

 ．（2013年高考福建卷（文））设函数
的定义域为
,
是
的极
大值点,以下结论一定正确的是 （　　）

A．
B．
是
的极小值点

C．
是
的极小值点 D．
是
的极小值点

【答案】D

 ．（2013年高考安徽（文）
）已知函数
有两个极值点
,若
,则关于
的方程
的不同实根个数为 （　
　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

 ．（2013年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是



【答案】B

二、填空题

 ．（2013年高考广东卷（文））若曲线
在点
处的切线平行于
轴,则
____________.

【答案】

 ．（2013年高考江西卷（文））若曲线
(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________.

【答案】2

三、解答题

 ．（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax

(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)当
时,
,所以
,所以
在
处的切线方程是:
;

(Ⅱ)因为

①当
时,
时,
递增,
时,
递减,所以当

时,且
,
时,
递增,
时,
递减,所以最小值是
;

②当
时,且
,在
时,
时,
递减,
时,
递增,所以最小值是
;

综上所述:当
时,函数

最小值是
;当
时,函数
最
小值是
;

．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为
米,高为
米,体积为
立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000
元(
为圆周率).

(Ⅰ)将
表示成
的函数
,并求该函数的定义域;z

(Ⅱ)讨论函数
的单调性,并确定
和
为何值时该蓄水池的体积最大.z

【答案】

．（2013
年高考陕西卷（文））已知函数
.

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线
有唯一公共点.

(Ⅲ) 设a

【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数
,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=
.

.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1

(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线
有唯一公共点,过程如下.

因此,

所以,曲线y=f(x)与曲线
只有唯一公共点(0,1).(证毕)

(Ⅲ) 设

令
.

,

且

.

,所以

．（2013年高考大纲卷（文））已知函数

(I)求
;

(II)若

【答案】(Ⅰ)当
时,

.

令
,得,
,
.

当
时,
,
在
是增函数;

当
时,
,
在
是减函数;

当
时,
,
在
是增函数;

(Ⅱ)由
得,
.

当
,
时,

,

所以
在
是增函数,于是当
时,
.

综上,a的取值范围是
.

．（2013年高考辽宁卷（文））(I)证明:当

(II)若不等式
取值范围.

【答案】

．（2013年高考四川卷（文））已知函数
,其中
是实数.设
,
为该函数图象上的两点,且
.

(Ⅰ)指出函数
的单调区间;

(Ⅱ)若函数
的图象在点
处的切线互相垂直,且
,证明:
;

(Ⅲ)若函数
的图象在点
处的切线重合,求
的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)函数
的单调减区间为
,单调增区间为
,

(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为
,点B处的切线斜率为
,

故当点
处的切线互相垂直时,有

,

当x<0时,

因为
,所以
,所以
,

,

因此
,

(当且仅当
,即
且
时等号成立)

所以函数
的图象在点
处的切线互相垂直时有
.

(Ⅲ)当
或
时,

,故
.

当
时,
的图象在点
处的切线方程为

即
.

当
时,
的图象在点
处的切线方程为

即
.

两切线重合的充要条件是
,

由①及
知,
,

由①、②得
,

令
,则
,且

设
,则

所以
为减函数,则
,

所以
,

而当
且t趋向于0时,
无限增大,

所以
的取值范围是
.

故当函数
的图象在点
处的切线重合时,
的取值范围是
.

．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））己知函数f(X) = x2e-x

(I)求f(x)的极小值和极大值;

(II)当曲线y = f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.

【答案】

．（2013年高考北京卷（文））已知函数
.

(Ⅰ)若曲线
在点
)处与直线
相切,求
与
的值.

(Ⅱ)若曲线
与直线
有两个不同的交点,求
的取值范围.

【答案】解:由
,得
.

(I)因为曲线
在点
处与直线
相切,所以

,解得
,
.

(II)令
,得
.
与
的情况如下:

所以函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
是
的最小值.

当
时,曲线
与直线
最多只有一个交点;

当
时,
>
,
,

所以存在
,
,使得
.

由于函数
在区间
和
上均单调,所以当
时曲线
与直线
有且只有两个不同
交点.

综上可知,如果曲线
与直线
有且只有两个不同交点,那么
的取值范围是
.

．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)

已知函数
,曲线