5山东省实验中学2010级第二次模拟考试

数学试题（理科） 2013.06

注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页。两卷合计150分，考试时间为120分钟。选择题答案填涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上.

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，
，
，则(?U
)
为 A．
B．
C．
D．

2．已知
是实数，
是纯虚数，则
等于 （ ）

A．
B． 1 C．
D．

3．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是 （ ）

A.43 B. 44 C. 45 D. 46

4．设非空集合
满足
，则 （ ）

A．
B．
，有

C．
，使得
D．
，使得

5．直线l ,m 与平面
，满足
，l //
，
，
，

则必有 （ ）

A.
且
B.
且

C .
且
D.
且

6．在等比数列
中，
则

．3
．

．3或

．
或

7．设
，其中x，y满足
当z的最大值为6时，
的值为 （ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

8．设
，则二项式
展开式中的
项的系数为 （ ）

A .
B. 20 C.
D. 160

9．函数
在区间
内的图像是 （ ）

B. C. D.

10．△ABC外接圆的半径为
，圆心为
，且
，
，则

的值是 （ ）

A. 2 B. 3 C. 1 D. 0

11. 在区间
和
分别取一个数,记为
, 则方程
表示焦点在
轴上且离心率小于
的椭圆的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
是偶函数，且
，当
时，
，则方程
在区间
上的解的个数是 （ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

第II卷（非选择题 90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13．已知向量
，
，若
，则实数
的值等于_________．

14．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为____________.

15．以双曲线
的右焦点为圆心，且被其中一条渐近线截得的弦长为
的圆的标准方程为____________.

16.设
，定义
为
的导数，即
，
N，若
的内角
满足
，则
的值是__________.

三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）已知函数

（1）求
的最小正周期和值域；

（2）在
中，角
所对的边分别是
，若
且
，试判断

的形状.

18. （本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截面得，已知FA⊥平面ABC，AB＝2，BD＝1，AF＝2，

CE＝3，O为AB的中点．

（1）求证：OC⊥DF；

（2）求平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小；

19．（本题满分12分）我校要用三辆校车从本校区把教师接到东校区，已知从本校区到东校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为
，不堵车的概率为
；校车走公路②堵车的概率为
，不堵车的概率为
．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．

（1）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为
，求走公路②堵车的概率；

（2）在（1）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数
的分布列和数学期望．学

20、（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，对一切正整数
，点
都在函数
的图像上，且过点
的切线的斜率为
．

（1）求数列
的通项公式；（2）若
，求数列
的前
项和
；

（3）设
，等差数列
的任一项
，其中
是
中的最小数，
，求
的通项公式.

21. （本小题满分13分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率
，且经过点A
.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）如果斜率为
的直线EF与椭圆交于两个不同的点E、F，试判断直线AE、AF的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由.

(3) 试求三角形AEF面积S取得最大值时，直线EF的方程.

22. （本小题满分13分）已知函数

（1）求函数
在点P（0,1）处的切线方程；

（2）若函数
为R上的单调递增函数，试求a的范围;

（3）若函数
不出现在直线
的下方，试求a的最大值.

山东省实验中学2010级第二次模拟考试

理科数学答案 2013.06

一选择题

CBCBB CACCB BB

二填空题

13.
14.
15.
16．

三解答题

17（本小题满分12分）

解：﹙Ⅰ﹚

……………………………………………………….3分

……………………………………………………………4分

所以
,…………………………………………………………………5分

……………………………………………………………6分

﹙Ⅱ﹚由
，有
，

所以
……………………………………………………………7分

因为
，所以
,即
. …………………………………8分

由余弦定理
及
，所以
.……………10分

所以
所以
.……………………………………………………11分

所以
为等边三角形. ………………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）证法一：

平面
，
平面
，
…………2分

又
且
为
的中点，

平面
， ………………4分

平面
，
……………………………………………………………………6分

证法二：如图，以
为原点，
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，
…………………………2分

即
………………6分

（2）解法一：解：设平面
的法向量为
………7分

设平面
的法向量为

由
得
,

解得
, …………………………9分

所以
, …………………11分

故平面
与平面
相交所成锐二面角的大小为
. …………………12分

19．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）由已知条件得
，……………………2分

即
，则
． ……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）解：
可能的取值为0，1，2，3． ……………………………………………5分

；
；

；
…………9分

的分布列为：

0

1

2

3

















………10分

所以

．…………………………………………12分

20解：（1）
点
都在函数
的图像上，

,

当
时，
…………………………………2分

当
时，
满足上式，所以数列
的通项公式为
…3分

（2）由
求导可得

过点
的切线的斜率为
，
.…………………………………4分

.

①

由①×4，得

②………………5分

①-②得：

…………………………………………………………..7分

（3）
,
.

又
，其中
是
中的最小数，
……………..8分

是公差是4的倍数，
………………….9分

又
，
,解得ｍ＝27. ………………….10分

所以
，设等差数列的公差为
，则
………11分

，所以
的通项公式为
…12分

21. （本小题满分13分）

解：（1）由题意，
,………………….1分

椭圆
经过点A
，
，

又
，解得
，
，所以椭圆方程为
. …………….3分

（2）设直线
的方程为：
，代入

得：
.

且
；………………….4分

设
，由题意，
，
；………………….5分

分子为：

又
，
，

.

即，直线
的斜率之和是为定值
.………………….8分

（3）

，
………………….9分

所以
，经运算
最大………………….12分

所以直线方程为
………………….13分

22. （本小题满分13分）

解：(1)
，
………………….1分

所以
在点
处的切线方程为
，即
.………….3分

(2) 由题意
恒成立………………….4分

时
，令
，则
，

由
得
，
时
，
时
.

,
；………………….5分

时
，
，
则
；………………….6分

又

恒成立；………………….7分

综上，若函数
为R上的单调递增函数，则
.………………….8分

(3) 由题意，
，记
,即
恒成立. ……….9分

若
，则
时，
，与
恒成立矛盾. 10分

.此时

则
时
，
时
，

时
，即
恒成立. ………………….12分

综上，若函数
不出现在直线
的下方，则 a的最大值为0. ………………….13分