2013年宁德市普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据
，…，
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中
为球的半径

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若
（
为虚数单位），
则（ ）

A. 3 B. 1 C.－1 D.－3

2．如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是（ ）

A． B． C． D．

3．某社区以“周末你最喜爱的一个活动”为题，对该社区2000个居民进行随机抽样调查（每位被调查居民必须而且只能从运动、上网、看书、聚会、其它等五项中选择一个项目）。若抽取的样本容量为50，相应的条形统计图如图所示，据此可估计该社区最喜欢运动的居民人数为（ ）

A．80 B．160 C．200 D．320

4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）

A．127 B．64 C．63 D． 31

5．“非零向量
共线”是“非零向量
满足
”的（ ）

A． 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6．某公司有10万元资金，计划投资甲、乙两个项目，项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润.按要求每个项目的投资不能低于2万元，且对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
，则该公司规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）

A．5.6万元 B．5.2万元 C．4.4万元 D．2.6万元

7．已知函数
的图象如右图所示，则
的解析式可以是（ ）

A．
B．

C．
D．

8．右图是函数
在区间
上的图象，将该图象向右平移m（m>0）个单位后，所得图象关于直线
对称，则m的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
是双曲线


，
的左、右焦点。若P为双曲线右支上一点，满足
，
，则该双曲线的离心率是（ ）

A．
B．2 C．
D．

10．已知集合M为点集，记性质P为“对
均有
”.给出下列集合：①
，②
，③
，④
，其中具有性质P的点集的个数是（ ）

A．1 B．2 C． 3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．

11．已知x,y的取值如下表：

X

2

3

5

6



y

2.7

4.3

6.1

6.9



从散点分析，y与x具有线性关系，且回归方程为
，则a＝ ．

12．在二项式(x+
)6的展开式中, 常数项是 ．

13．若抛物线
上一点
到坐标原点
的距离为
，则点
到该抛物线焦点的距离为 ．

14．已知
，
.若偶函数
满足
（其中m,n为常数），且最小值为1，则
．

15．m个人排成一行，自1起至m依次报数，凡报奇数者出队；留下的再从1起报数，报奇数者又出队，这样反复下去，最后留下一个人.若最后留下的这个人第一次报数号码为64，则m的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分13分)

已知函数
有两个零点为0和－2.

（Ⅰ）求曲线
与
轴所围成的图形的面积；

（Ⅱ）数列
的前n项和为
，点
在抛物线
上，记
，求数列
的前n项和
.

17．(本小题满分13分)

某品牌电视专卖店，在“五一”期间设计一项有奖促销活动：每购买一台电视，即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，根据下表兑奖．

奖次

一等奖

二等奖

三等奖



随机数组的特征

3个1或3个0

只有2个1或2个0

只有1个1或1个0



奖金（单位：元）

5m

2m

m



商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，产生20组随机数组，每组3个数，试验结果如下所示：

235，145，124，754，353，296，065，379，118，247，

C520，356，218，954，245，368，035，111，357，265.

（Ⅰ）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有一组获奖的概率；

（Ⅱ）根据上述模拟试验的结果，奖频率视为概率：

（i）若活动期间某单位购买4台电视，求恰好有两台获奖的概率；

(ii)若本次活动平均每台电视的奖金不超过260元，求m的最大值。

18．(本小题满分13分)

如图所示多面体
中，底面
为正方形，
,
,E且
底面
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）当
的长为多少时,锐二面角
的大小恰为
?

19．(本小题满分13分)

已知椭圆
过点M
，四个顶点所围成的图形面积为
.直线
与椭圆C相交于A,B两点,且
．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）试判断直线
是否过定点?如果是,求出定点坐标;不是,请说明理由.

20．(本小题满分14分)

如图，曲线
与x轴交于点A，点P、Q为曲线
上的两点．点P在x轴上的射影为
，
交
于点D，设
．

(Ⅰ）若
，求
的值；

(Ⅱ）求证：
；

(Ⅲ）若
，记△
的面积
，试判断S是否存在最大值？若存在，求出
的长，不存在，说明理由

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

曲线
在矩阵
的变换作用下得到曲线
．

（Ⅰ）求矩阵
；

（Ⅱ）求矩阵
的特征值及对应的一个特征向量．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴）中，曲线
的方程为
．

（Ⅰ）求曲线
直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线
、
交于A、B两点，定点
，求
的值．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知实数t满足
．

（Ⅰ）求t的取值范围；

（Ⅱ）求函数
的最小值.