2013年上海市秋季高考理科数学

一、填空题

1．计算：

【解答】根据极限运算法则，
．

2．设
，
是纯虚数，其中i是虚数单位，则

【解答】
．

3．若
，则

【解答】
．

4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若
，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）

【解答】
，故
．

5．设常数
，若
的二项展开式中
项的系数为
，则

【解答】
，故
．

6．方程
的实数解为________

【解答】原方程整理后变为
．

7．在极坐标系中，曲线
与
的公共点到极点的距离为__________

【解答】联立方程组得
，又
，故所求为
．

8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）

【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为
．

9．设AB是椭圆
的长轴，点C在
上，且
，若AB=4，
，则
的两个焦点之间的距离为________

【解答】不妨设椭圆
的标准方程为
，于是可算得
，得
．

10．设非零常数d是等差数列
的公差，随机变量
等可能地取值
，则方差

【解答】
，
．

11．若
，则

【解答】
，
，故
．

12．设
为实常数，
是定义在R上的奇函数，当
时，
，若
对一切
成立，则
的取值范围为________

【解答】
，故
；当
时，

即
，又
，故
．

13．在
平面上，将两个半圆弧
和
、两条直线
和
围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为
，过
作
的水平截面，所得截面面积为
，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出
的体积值为__________

【解答】根据提示，一个半径为1，高为
的圆柱平放，一个高为2，底面面积
的长方体，这两个几何体与
放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即
的体积值为
．

14．对区间I上有定义的函数
，记
，已知定义域为
的函数
有反函数
，且
，若方程
有解
，则

【解答】根据反函数定义，当
时，
；
时，
，而
的定义域为
，故当
时，
的取值应在集合
，故若
，只有
．

二、选择题

15．设常数
，集合
，若
，则
的取值范围为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

【解答】集合A讨论后利用数轴可知，
或
，解答选项为B．

16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件

【解答】根据等价命题，便宜(没好货，等价于，好货(不便宜，故选B．

17．在数列
中，
，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素
，（
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）

(A)18 (B)28 (C)48 (D)63

【解答】
，而
，故不同数值个数为18个，选A．

18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为
.若
分别为
的最小值、最大值，其中
,
,则
满足（ ）.

(A)
(B)
(C)
(D)

【解答】作图知，只有
，其余均有
，故选D．

三、解答题

19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.

【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故
，

故ABC1D1为平行四边形，故
，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；

直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为

考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得

而
中，
，故

所以，
，即直线BC1到平面D1AC的距离为
．

20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求
），每小时可获得利润是
元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

【解答】(1)根据题意，

又
，可解得

(2)设利润为
元，则

故
时，
元．

21．（6分+8分）已知函数
，其中常数
；

（1）若
在
上单调递增，求
的取值范围；

（2）令
，将函数
的图像向左平移
个单位，再向上平移1个单位，得到函数
的图像，区间
（
且
）满足：
在
上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的
中，求
的最小值．

【解答】(1)因为
，根据题意有

(2)
，

或
，

即
的零点相离间隔依次为
和
，

故若
在
上至少含有30个零点，则
的最小值为
．

22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线
，曲线
，P是平面上一点，若存在过点P的直线与
都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．

(1)在正确证明
的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

(2)设直线
与
有公共点，求证
，进而证明原点不是“C1—C2型点”；

(3)求证：圆
内的点都不是“C1—C2型点”．

【解答】：（1）C1的左焦点为
，过F的直线
与C1交于
，与C2交于
，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为
；

（2）直线
与C2有交点，则

，若方程组有解，则必须
；

直线
与C2有交点，则

，若方程组有解，则必须

故直线
至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。

（3）显然过圆
内一点的直线
若与曲线C1有交点，则斜率必存在；

根据对称性，不妨设直线
斜率存在且与曲线C2交于点
，则

直线
与圆
内部有交点，故

化简得，
。。。。。。。。。。。。①

若直线
与曲线C1有交点，则

化简得，
。。。。。②

由①②得，

但此时，因为
，即①式不成立；

当
时，①式也不成立

综上，直线
若与圆
内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，

即圆
内的点都不是“C1-C2型点” ．

23．（3?分+6分+9分）给定常数
，定义函数
，数列
满足
.

（1）若
，求
及
；（2）求证：对任意
，；

（3）是否存在
，使得
成等差数列？若存在，求出所有这样的
，若不存在，说明理由.

【解答】：（1）因为
，
，故
，

（2）要证明原命题，只需证明
对任意
都成立，

即只需证明

若
，显然有
成立；

若
，则
显然成立

综上，
恒成立，即对任意的
，

（3）由（2）知，若
为等差数列，则公差
，故n无限增大时，总有

此时，

即

故
，

即
，

当
时，等式成立，且
时，
，此时
为等差数列，满足题意；

若
，则
，

此时，
也满足题意；

综上，满足题意的
的取值范围是
．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分6分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

如图，已知双曲线
：
，曲线
：
．
是平面内一点，若存在过点
的直线与
、
都有公共点，则称
为“

型点”．

（1）在正确证明
的左焦点是“