2013年上海高考数学试题（文科）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．不等式
的解为 ．（0,1/2）

2．在等差数列
中，若
，则
．15

3．设
，
是纯虚数，其中
是虚数单位，则
．

【解答】
．

4．若
，
，则
．3

5．已知
的内角
、
、
所对的边分别是
，
，
．若
，则角
的大小是 （结果用反三角函数值表示）．

6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．78

7．设常数
．若
的二项展开式中
项的系数为-10，则
．

【解答】
，

故
．

8．方程
的实数解为 ．

9．若
，则
．

10．已知圆柱
的母线长为
，底面半径为
，
是上地面圆心，
、
是下底面圆周上两个不同的点，
是母线，如图．若直线
与
所成角的大小为
，则
．

11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．

【解答】7个数4个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为
．

12．设
是椭圆
的长轴，点
在
上，且
．若
，
，则
的两个焦点之间的距离为 ．

【解答】不妨设椭圆
的标准方程为
，于是可算得
，得
．

13．设常数
，若
对一切正实数
成立，则
的取值范围为 ．

14．已知正方形
的边长为1．记以
为起点，其余顶点为终点的向量分别为
、
、
；以
为起点，其余顶点为终点的向量分别为
、
、
．若
且
，则
的最小值是 ．-2

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．函数
的反函数为
，则
的值是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

16．设常数
，集合
，
．若
，则
的取值范围为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【解答】集合A讨论后利用数轴可知，
或
，解答选项为B．

17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ）

（A）充分条件 （B）必要条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件

18．记椭圆
围成的区域（含边界）为
，当点
分别在
上时，
的最大值分别是
，则
（ D ）

暂无AB选项！ C、2 D、

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

如图，正三棱锥
底面边长为
，高为
，求该三棱锥的体积及表面积．

【解答】

20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．

甲厂以
千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求
），每小时可获得的利润是
元．

（1）求证：生产
千克该产品所获得的利润为
；

（2）要使生产
千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．

【解答】（1）每小时生产
克产品，获利
，

生产
千克该产品用时间为
，所获利润为
.

（2）生产900千克该产品，所获利润为

所以
，最大利润为
元。

21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数
，其中常数
．

（1）令
，判断函数
的奇偶性并说明理由；

（2）令
，将函数
的图像向左平移
个单位，再往上平移
个单位，得到函数
的图像．对任意的
，求
在区间
上零点个数的所有可能值．

【解答】（1）

是非奇函数非偶函数。

∵
，∴

∴函数
是既不是奇函数也不是偶函数。

（2）
时，
，
，

其最小正周期

由
，得
，

∴
，即

区间
的长度为10个周期，

若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；

若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；

故当
时，21个，否则20个。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

已知函数
．无穷数列
满足
．

（1）若
，求
，
，
；

（2）若
，且
，
，
成等比数列，求
的值；

（3）是否存在
，使得
，
，
，…，
…成等差数列？若存在，求出所有这样的
；若不存在，说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

如图，已知双曲线
：
，曲线
：
．
是平面内一点，若存在过点
的直线与
、
都有公共点，则称
为“

型点”．

（1）在正确证明
的左焦点是“

型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线
与
有公共点，求证
，进而证明原点不是“

型点；

（3）求证：圆
内的点都不是“

型点”．