2013天水一中信息卷数学文

第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。满分100分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
是虚数单位，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．12 B．11 C．
D．

3．若数列
的前n项和为
，则下列命题：

（1）若数列
是递增数列，则数列
也是递增数列；

（2）数列
是递增数列的充要条件是数列
的各项均为正数；

（3）若
是等差数列（公差
），则
的充要条件是

（4）若
是等比数列，则
的充要条件是

其中，正确命题的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．3 B．—6 C．10 D．

6．已知:命题
：“
是
的充分必要条件”；命题
：“
”．则下列命题正确的是（ ）

A．命题“
∧
”是真命题 B．命题“（┐
）∧
”是真命题

C．命题“
∧（┐
）”是真命题 D．命题“（┐
）∧（┐
）”是真命题

7．若空间三条直线a、b、c满足
，则直线
（ ）

A．一定平行 B．一定相交

C．一定是异面直线 D．一定垂直

8．函数
的图象大致是（ ）

9．如图所示的方格纸中有定点
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设
的最大值为（ ）

A． 80　　　　 B．
　　　　 C． 25　　　 D．

11．若双曲线
的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且
，那么α的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．若实数
满足
，则称
是函数
的一个次不动点．设函数
与函数
（其中
为自然对数的底数）的所有次不动点之和为
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13．已知
与
之间的部分对应关系如下表：

11

12

13

14

15

…















…



则
和
可能满足的一个关系式是 ．

14．在
中，已知
分别为
，
，
所对的边，
为
的面积．若向量
满足
，则
= ．

15．在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，则
＜
的概率为

16、已知
，
，
，

。

根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ；

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）若将
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成
个等级，等级系数
依次为
，其中
为标准
，
为标准
，产品的等级系数越大表明产品的质量越好． 已知某厂执行标准
生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取
件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

该行业规定产品的等级系数
的为一等品，等级系数
的为二等品，等级系数
的为三等品．

（Ⅰ）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；

（Ⅱ）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，
，
，平面
平面
，
是线段
上一点，
，
，
．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）设三棱锥
与四棱锥
的体积分别为
与
，求
的值．

20．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和
。

（Ⅰ） 求数列｛
｝的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列｛
｝的前
项和．

21．（本小题满分12分）给定椭圆
：
． 称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“准圆”． 若椭圆
的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点
是椭圆
的“准圆”上的一个动点，过动点
作直线
，使得
与椭圆
都只有一个交点，试判断
是否垂直？并说明理由。

22．（本小题满分14分）已知定义在正实数集上的函数
，
，其中
．设两曲线
，
有公共点，且在该点处的切线相同。

（Ⅰ）用
表示
，并求
的最大值；

（Ⅱ）求证：
（
）．

参考答案

一、选择题

1、D；2、A；3、A；4、B； 5、C；6、B；7、D；8、C；9、C；10、A；11、D；12、B；

二．填空题

13、
（不唯一）；14、
；15、
；

16、
，
。

三．解答题

17．解析：（Ⅰ）

…………………2分

．……………………………4分

所以
的最小正周期为
．………………………………………6分

（Ⅱ）
将
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，

．…………………8分

时，
， …………………………………………………9分

当
，即
时，
，
取得最大值2． …………10分

当
，即
时，
，
取得最小值
．………12分

18．解析：（Ⅰ）由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件． …………3分

∴样本中一等品的频率为
，

故估计该厂生产的产品的一等品率为
, ………4分

二等品的频率为
，故估计该厂产品的二等品率为
, …5分

三等品的频率为
，故估计该厂产品的三等品率为
．…6分

（Ⅱ）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件， ……………………7分

记等级系数为7的3件产品分别为
、
、
，等级系数为8的3件产品分别为
、
、
,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：
,
,
，
，
，
,
,
,
,
，
,
,


, 共15种， …………10分

记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件
，

则
包含的基本事件有

共3种， ………11分

故所求的概率
． ……………………12分

19．（Ⅰ）证明:
平面
平面
,平面
平面
,

平面
，
，
平面
,…………………1分

平面

………………………………2分

四边形
是直角梯形，


,

都是等腰直角三角形,

…………………………4分

平面
，
平面
，
,

平面
…………………………………………………………………6分

（Ⅱ）解: 三棱锥
与三棱锥
的体积相等,

由（ 1 ） 知
平面
,

得
,……………………………………………9分

设
由
,

得

从而
…………………………………………………………12分

20．解析：（Ⅰ）
时，
; ……………………………………2分

．………………………………………4分

　　
……………………………………………6分

（Ⅱ） 设
，

当
时，
；…………………………………7分

　
时，
，


……………10分