2013年天水一中信息卷数学理

第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。满分100分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
是虚数单位，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．12 B．11 C．
D．

4．若数列
的前n项和为
，则下列命题：

（1）若数列
是递增数列，则数列
也是递增数列；

（2）数列
是递增数列的充要条件是数列
的各项均为正数；

（3）若
是等差数列（公差
），则
的充要条件是

（4）若
是等比数列，则
的充要条件是

其中，正确命题的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．如图，长方形的四个顶点为
，曲线
经过点
．现将一质点随机投入长方形
中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知:命题
：“
是
的充分必要条件”；

命题
：“
”．则下列命题正确的是（ ）

A．命题“
∧
”是真命题 B．命题“（┐
）∧
”是真命题

C．命题“
∧（┐
）”是真命题 D．命题“（┐
）∧（┐
）”是真命题

7．若空间三条直线a、b、c满足
，则直线
（ ）

A．一定平行 B．一定相交

C．一定是异面直线 D．一定垂直

8．函数
的图象大致是（ ）

9．如图所示的方格纸中有定点
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设
的最大值为（ ）

A． 80　　　　 B．
　　　　 C． 25　　　 D．

11．若双曲线
的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且
，那么α的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．若实数
满足
，则称
是函数
的一个次不动点．设函数
与函数
（其中
为自然对数的底数）的所有次不动点之和为
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13．
展开式中常数为 ；

14．在
中，已知
分别为
，
，
所对的边，
为
的面积．若向量
满足
，则
= ．

15．执行如图的程序框图，那么输出
的值是 ；

16、已知
，
，
，

。

根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ；

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）若将
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题． 规定每位考生必须且只须在其中选做一题． 设4名考生选做这两题的可能性均为
．

（Ⅰ）求其中甲、乙二名学生选做同一道题的概率；

（Ⅱ）设这4名考生中选做第22题的学生个数为
，求
的概率分布及数学期望。

19．（本小题满分12分）如图，
是圆
的直径，点
在圆
上，
，
交
于点
，
平面
，
，
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和
．

（Ⅰ） 求数列｛
｝的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列｛
｝的前
项和．

21．（本小题满分12分）直线
与椭圆
交于
，
两点，已知

，

，若
且椭圆的离心率
，又椭圆经过点
，
为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线
过椭圆的焦点
（
为半焦距），求直线
的斜率
的值；

（Ⅲ）试问：
的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

22．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，如果函数
仅有一个零点，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，试比较
与1的大小；

（Ⅲ）求证：

．

参考答案

一．选择题

1、D；2、A；3、A；4、B； 5、C；6、B；7、D；8、C；9、C；10、A；11、D；12、B；

二．填空题

13、—4； 14、
；15、
； 16、
，
。

三．解答题

17．解析：（Ⅰ）

…………………2分

．……………………………4分

所以
的最小正周期为
．………………………………………6分

（Ⅱ）
将
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，

．…………………8分

时，
， …………………………………………………9分

当
，即
时，
，
取得最大值2． …………10分

当
，即
时，
，
取得最小值
．………12分

18．解析：（Ⅰ）设事件
表示“甲选做第21题”，事件
表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“
”，且事件
、
相互独立

∴

=
． ……………6分

（Ⅱ）随机变量
的可能取值为0,1,2,3,4，且
～

．∴

∴变量
的分布表为：

0

1

2

3

4



















…………………………12分

19．解析：（法一）（Ⅰ）
平面

平面
，
．………………………………………………………………………………1分

又

，

平面

而
平面

． ……………………………………………………………………………3分

是圆
的直径，
．

又

，

．

平面

，
，

平面
．

与
都是等腰直角三角形．

．

，即
（也可由勾股定理证得）．………………………………5分

，
平面
．

而
平面
，

． ………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）延长
交
于
，连
，过
作
，连结
．

由（1）知
平面
，
平面
，

．

而
，
平面
．

平面
，

，

为平面
与平面
所成的

二面角的平面角． ……………………8分

在
中，

，
，

．

由
，得
．

．

又
，

，则
． ………………………………11分

是等腰直角三角形，
．

平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
．　 ………………………12分

（法二）（Ⅰ）同法一，得
． ………………………3分

如图，以
为坐标原点，垂直于
、
、
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系．

由已知条件得
，

． ………4分

由
，

得
，
． ……………6分

（Ⅱ）由（1）知
．

设平面
的法向量为
，

由
得
，

令
得
，