2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

文 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷

注意事项：

每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.

本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.

参考公式:

·如果事件A, B互斥, 那么

·棱柱的体积公式V = Sh，

其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高.

·如果事件A, B相互独立, 那么

·球的体积公式

其中R表示球的半径.

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则

(A)
(B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]

(2) 设变量x, y满足约束条件
则目标函数z = y－2x的最小值为

(A) －7 (B) －4

(C) 1 (D) 2

(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n的值为

(A) 7 (B) 6

(C) 5 (D) 4

(4) 设
, 则 “
”是“
”的

(A) 充分而不必要条件

(B) 必要而不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

(5) 已知过点P(2,2) 的直线与圆
相切, 且与直线
垂直, 则

(A)
(B) 1

(C) 2 (D)

(6) 函数
在区间
上的最小值是

(A)
(B)

(C)
(D) 0

(7) 已知函数
是定义在R上的偶函数, 且在区间
单调递增. 若实数a满足
, 则a的取值范围是

(A)
(B)

(C)
(D)

(8) 设函数
. 若实数a, b满足
, 则

(A)
(B)

(C)
(D)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

文 科 数 学

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2. 本卷共12小题, 共110分.

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.

(9) i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = .

(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为
, 则正方体的棱长为 .

(11) 已知抛物线
的准线过双曲线
的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .

(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1,
, E为CD的中点. 若
, 则AB的长为 .

(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD中, AB//DC, 过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD的长为 .

(14) 设a + b = 2, b>0, 则
的最小值为 .

三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

(15) (本小题满分13分)

某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

产品编号

A1

A2

A3

A4

A5



质量指标(x, y, z)

(1,1,2)

(2,1,1)

(2,2,2)

(1,1,1)

(1,2,1)



产品编号

A6

A7

A8

A9

A10



质量指标(x, y, z)

(1,2,2)

(2,1,1)

(2,2,1)

(1,1,1)

(2,1,2)



(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,

(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;

(⒉) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.

(16) (本小题满分13分)

在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知
, a = 3,
.

(Ⅰ) 求b的值;

(Ⅱ) 求
的值.

(17) (本小题满分13分)

如图, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.

(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;

(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;

(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

(18) (本小题满分13分)

设椭圆
的左焦点为F, 离心率为
, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
, 求k的值.

(19) (本小题满分14分)

已知首项为
的等比数列
的前n项和为
, 且
成等差数列.

(Ⅰ) 求数列
的通项公式;

(Ⅱ) 证明
.

(20) (本小题满分14分)

设
, 已知函数

(Ⅰ) 证明
在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;

(Ⅱ) 设曲线
在点
处的切线相互平行, 且
证明
.