2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）逐题详解

参考公式:台体的体积公式
,其中
分别是台体的上、下底面积,
表示台体的高.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．设集合
,
,则
( )

A .
B．
C．
D．

2．定义域为
的四个函数
,
,
,
中,奇函数的个数是( )

A .
B．
C．
D．

3．若复数
满足
,则在复平面内,
对应的点的坐标是( )

A .
B．
C．
D．

4．已知离散型随机变量
的分布列为



















 则
的数学期望
( )

A .
B．
C．
D．

5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )

A .
B．

C．
D．

6．设
是两条不同的直线,
是两个不同的平面,

下列命题中正确的是( )

A . 若
,
,
,则
B．若
,
,
,则

C．若
,
,
,则
D．若
,
,
,则

7．已知中心在原点的双曲线
的右焦点为
,离心率等于
,在双曲线
的方程是

A .
B．
C．
D．

8．设整数
,集合
.令集合

若
和
都在
中,则下列选项正确的是( )

A .
,
B．
,

C．
,
D．
,

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

(一)必做题(9～13题)

9．不等式
的解集为___________．

10．若曲线
在点
处的切线平行于
轴,则
______.

11．执行如图所示的程序框图,若输入
的值为
,则输出
的值为______.

12. 在等差数列
中,已知
,则

_____.

13. 给定区域
:
,令点集

是
在
上取得最大值或最小值的点
,则
中的点共确定______

条不同的直线.

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线
的参数方程为
(
为参数),
在点
处的切线为
,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则
的极坐标方程为_____________.

15. (几何证明选讲选做题)如图,
是圆
的直径,点
在圆
上,

延长
到
使
,过
作圆
的切线交
于
.若

,
,则
_________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数
,
.

(Ⅰ) 求
的值； (Ⅱ) 若
,
,求
．

17．（本小题满分12分）

某车间共有
名工人,随机抽取
名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,

其中茎为十位数,叶为个位数.

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.

根据茎叶图推断该车间
名工人中有几名优秀工人；

(Ⅲ) 从该车间
名工人中,任取
人,求恰有
名优秀

工人的概率.

18．（本小题满分14分）

如图1,在等腰直角三角形
中,
,
,
分别是
上的点,
,

为
的中点.将
沿
折起,得到如图2所示的四棱锥
,其中
.

(Ⅰ) 证明:
平面
；

(Ⅱ) 求二面角
的平面角的余弦值.

19．（本小题满分14分）

设数列
的前
项和为
.已知
,
,
.

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 求数列
的通项公式；

(Ⅲ) 证明:对一切正整数
,有
.

20．（本小题满分14分）

已知抛物线
的顶点为原点,其焦点
到直线
:
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点.

(Ⅰ) 求抛物线
的方程；

(Ⅱ) 当点
为直线
上的定点时,求直线
的方程；

(Ⅲ) 当点
在直线
上移动时,求
的最小值.

21．（本小题满分14分）

设函数
(其中
).

(Ⅰ) 当
时,求函数
的单调区间；

(Ⅱ) 当
时,求函数
在
上的最大值
.

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）参考答案

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

DC CA B D BB

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

9.
10.
11.
12.
13.

14.
15.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

【解析】(Ⅰ)
；

(Ⅱ)

因为
,
,所以
,

所以
,

所以


.

17．（本小题满分12分）

【解析】(Ⅰ) 样本均值为
；

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为
,故推断该车间
名工人中有
名优秀工人.

(Ⅲ) 设事件
:从该车间
名工人中,任取
人,恰有
名优秀工人,则


.

18．（本小题满分14分）

【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得

连结
,在
中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知
,

所以
,所以
,

理可证
, 又
,所以
平面
.

(Ⅱ) 传统法:过
作
交
的延长线于
,连结
,

因为
平面
,所以
,

所以
为二面角
的平面角.

结合图1可知,
为
中点,故
,从而

所以
,所以二面角
的平面角的余弦值为
.

向量法:以
点为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,

则
,
,

所以
,

设
为平面
的法向量,则

,即
,解得
,令
,得

由(Ⅰ) 知,
为平面
的一个法向量,

所以
,即二面角
的平面角的余弦值为
.

19．（本小题满分14分）

【解析】(Ⅰ) 依题意,
,又
,所以
；

(Ⅱ) 当
时,
,

两式相减得

整理得
,即
,又

故数列
是首项为
,公差为
的等差数列,

所以
,所以
.

(Ⅲ) 当
时,
；当
时,
；

当
时,
,此时

综上,对一切正整数
,有