2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数 学（理科）

参考公式：台体的体积公式
，其中
为台体的上、下底面积，
为台体的高。

选择题

设集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．定义域为
的四个函数
中，奇函数的个数（ ）

A．
B．
C．
D．

3．若复数
满足
，则在复平面内，
对应的点的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知离散型随机变量
的分布列为





















则
的数学期望
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．某四棱台的三视图如图1，则该四棱台的体积是（ ）

图1

俯视图

A．
B．
C．
D．

6．已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A．若
⊥
则
⊥
B．若
∥
则
∥

C．若
⊥

则
⊥
D．若
⊥

∥


∥
则
⊥

7．已知中心在原点的双曲线
的右焦点为
，离心率为
，则
的方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．设整数
集合
，令集合

且三条件
恰有一个成立}，

若
和
都在
中，则下列选项正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题

（一）必做题

9．不等式
的解集为

10. 若曲线
在点
处的切线平行于
轴，则

11．执行如图2所示的程序框图，若输入
的值为
，则输出
的值为

12．在等差数列
中，已知
，则

13．给定区域
，令点集

是
在
上取得最大值或最后小值的点
，则
中的点共确定 条不同的直线。

（二）选做题

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
的参数方程为
（
为参数），
在点
处的切线为
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则
的极坐标方程为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图3，
是圆
的直径，

点
是圆
上，延长
到
使
，过

作圆
的切线交
于
，若
则

三、解答题

16．已知函数

（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）若
，求

17．某车间共有
名工人，随机抽取
名，他们某日加工零件个数的茎叶图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数

（1）根据茎叶图计算样本均值；

（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间
名工人中有几名优秀工人？

（3）从该车间
名工人中，任取
人，求恰有
名优秀工人的概率。

18．如图5，在等腰直角三角形
中，
分别是
上的点，
，
是
的中点。将
沿
折起，得到如图6所示的四棱锥
，其中
。

（1）证明：
⊥平面

（2）求二面角
的平面角的余弦值。

19．设数列
的前
项和为
，已知

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）证明：对于一切正整数
，有
.

20．已知抛物线
的顶点为原点，焦点
到直线
的距离为
。设
是直线
的点，过点
作抛物线
的的两打切线
，其中
为切点。

（1）求抛物线
的方程；

（2）当点
为直线
的定点时，求直线
的方程；

（3）当
是直线
上移动时，求
的最小值。

21．设函数

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）当
时，求函数
在
上的最大值
.