2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数 学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．设集合
，集合
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．如图，在复平面内，点
表示复数
，则图中表示
的共轭复数的点是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）

4．设
，集合
是奇数集，集合
是偶数集．若命题
，则（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

5．函数
的部分图象如图所示，则
的值分别是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

6．抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7．函数
的图象大致是（ ）

8．从
这五个数中，每次取出两个不同的数分别为
，共可得到
的不同值的个数是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10．设函数
（
，
为自然对数的底数）．若曲线
上存在
使得
，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．二项式
的展开式中，含
的项的系数是_________．（用数字作答）

12．在平行四边形
中，对角线
与
交于点
，
，则
_________．

13．设
，
，则
的值是_________．

14．已知
是定义域为
的偶函数，当
≥
时，
，那么，不等式
的解集是________ ．

15．设
为平面
内的
个点，在平面
内的所有点中，若点
到
点的距离之和最小，则称点
为
点的一个“中位点”．例如，线段
上的任意点都是端点
的中位点．则有下列命题：

①若
三个点共线，
在线段上，则
是
的中位点；

②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；

③若四个点
共线，则它们的中位点存在且唯一；

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．

其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分) 在等差数列
中，
，且
为
和
的等比中项，求数列
的首项、公差及前
项和．

17．(本小题满分12分) 在
中，角
的对边分别为
，且
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
，求向量
在
方向上的投影．

18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量
在
这
个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出
的值为
的概率
；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行
次后，统计记录了输出
的值为
的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

运行

次数

输出
的值

为
的频数

输出
的值

为
的频数

输出
的值

为
的频数













…

…

…

…













甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）

运行

次数

输出
的值

为
的频数

输出
的值

为
的频数

输出
的值

为
的频数













…

…

…

…















当
时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出
的值为
的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；

（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出
的值为2的次数
的分布列及数学期望．

19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
分别是线段
的中点，
是线段
的中点．

（Ⅰ）在平面
内，试作出过点
与平面
平行的直线
，说明理由，并证明直线
平面
；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线
交
于点
，交
于点
，求二面角
的余弦值．

20．(本小题满分13分) 已知椭圆
：
的两个焦点分别为
，且椭圆
经过点
．

（Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）设过点
的直线
与椭圆
交于
、
两点，点
是线段
上的点，且
，求点
的轨迹方程．

21．(本小题满分14分)已知函数
，其中
是实数．设
，
为该函数图象上的两点，且
．

（Ⅰ）指出函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
的图象在点
处的切线互相垂直，且
，求
的最小值；

（Ⅲ）若函数
的图象在点
处的切线重合，求
的取值范围．