2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项:

本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 设全集为R, 函数
的定义域为M, 则
为

(A) [－1,1] (B) (－1,1)

(C)
(D)

【答案】D

【解析】
的定义域为M=[-1,1],故CRM=
,选D

2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时,

输出y的值为

(A) 25

(B) 30

(C) 31

(D) 61

【答案】C

【解析】故选择C

3. 设a, b为向量, 则“
”是“a//b”的

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为

(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14

【答案】B

【解析】由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。

5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是

(A)
(B)

(C)
(D)

【答案】A

【解析】由题设可知矩形ABCD面积为2，曲边形DEBF的面积为
故所求概率为
，选A.

6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是

(A) 若
, 则
(B) 若
, 则

(C) 若
, 则
(D) 若
, 则

【答案】D

【解析】设
若
，则
，
，所以
，故A项正确；若
，则
，所以
，故B项正确；若
，则

，所以
，故C项正确；

7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若
, 则△ABC的形状为

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

【答案】B

【解析】因为
，所以由正弦定理得
，所以
，所以
,所以
，所以△ABC是直角三角形。

8. 设函数
, 则当x>0时,
表达式的展开式中常数项为

(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15

【答案】A

【解析】
，所以

9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是

(A) [15,20] (B) [12,25]

(C) [10,30] (D) [20,30]

【答案】C

【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则
，所以y=40-x，又xy≥300，，所以x(40-x)≥300

即

，解得10≤x≤30

10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有

(A) [－x] ＝ －[x] (B) [2x] ＝ 2[x]

(C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y]

【答案】D

【解析】取x=25,则[-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2,所以A项错误；[2x]=[5]=[
]=2[2.5]=4,所以B项错误；再取y=28，则[x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C项错误.

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 双曲线
的离心率为
, 则m等于 .

【答案】9

【解析】由a2=16，b2=m得c2=16+m，则e=
，∴m=9

【考点与方法】本题主要考察了双曲线的标准方程以及离心率，属于容易题，解题的关键在于利用双曲线标准方程c2=a2+b2和离心率的求解公式e=

12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .

【答案】

【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥，其体积为V=
.

【考点与方法】本题主要考查了三视图还原为实物图的能力和圆锥的体积公式，属于容易题。

13. 若点(x, y)位于曲线
与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 .

【答案】－4

【解析】作出曲线y=
与y=2所表示的区域，令2x－y=z，即y=2x－z，作直线y=2x，在封闭区域内平行移动直线y=2x，当经过点（－1，2）时，z取到最小值，此时最小值为－4.

【考点与方法】本题主要考察了线性规划的最值问题，考查画图和转化能力，属于中等题，解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域，并把求2x－y的最小值转化为求y=2x－z所表示的直线截距的最大值，通过平移直线y=2x即可求解。

14. 观察下列等式:

…

照此规律, 第n个等式可为 .

【答案】12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·
（n∈
）

【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1,2,3…n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用（－1）n+1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为（－1）n·
，所以第n个式子可为12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·
（n∈
）

【考点与方法】本题考查观察和归纳的推理能力，属于中等题。解题的关键在于：1.通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律；2.符号成正负交替出现可以用（－1）n+1表示；3.表达完整性，不要遗漏了n∈

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)

A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 .

【解析】由科尔不等式可得

（am+bn）（bm+an）≥（
）2mn（a+b）2=2

B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于
内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ .

【答案】

【解析】已知∠BCE=∠PED=∠BAP ∴
PDE∽
PEA

∴
而PD=2DA=2 ∴PA=3

PE2=PA·PD=6 故PE=

C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角
为参数, 则圆
的参数方程为 .

【答案】x=
，y=
， 0 ≤
＜

【解析】x2+y2-x=0，（x-
）2+y2=
，以（
）为圆心，
为半径，且过原点的圆，它的标准参数方程为x=
，y=
，0 ≤a＜2
，由已知，以过原点的直线倾斜角
为参数，则0 ≤
＜
，所以0 ≤2
＜2
，所以所求圆的参数方程为x=
，y=
， 0 ≤
＜

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. (本小题满分12分)

已知向量
, 设函数
.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在
上的最大值和最小值.

【解析】：

（I）
的最小正周期为

（II）∵
，∴
，∴

故当
即
时，

当
即
时，

【命题意图】本题考查三角恒等式，三角函数的性质等基础知识，简单题。

17. (本小题满分12分)

设
是公比为q的等比数列.

(Ⅰ) 推导
的前n项和公式;

(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列
不是等比数列.

【解析】：（I）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和 Sn=a1+ a1q+…. a1qn-1

将（1）式两边分别乘以q得

qSn=a1q+ a1q2+…a1qn

当q≠0时
或

当 q=1时， a1= a2=…. an 所以Sn=na

（II）∵q≠1 假设数列{an+1}为等比数列，那么

即
或q=1，均与题设矛盾，故数列

吧可能为等比数列。

18. (本小题满分12分)

如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,
.

(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;

(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角
的大小.

【解析】：

如图建立空间直角坐标系

由AB=AA1=
可知O（0,0,0），A（1,0,0），B（0,1,0），B1（-1,1,1），C（-1,0,0）

A1（0,0,1）D1（-1，-1,1）

A1c=（-1,0，-1）DB（0,2,0） BB1（-1,0,1）

　即

所以A1c⊥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ

（ＩＩ）容易求得平面ＯＣＢ１ 的一个法向量
，平面BB1D1D 的一个法向量为
所求夹角余弦值为
所求夹角的大小为60°

19. (本小题满分12分)

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.

【解析】（Ⅰ）由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为
,观众乙未选中3号歌手的概率为
，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
。

（Ⅱ）
的所有可能取值为0，1，2，3.由（Ⅰ）知，观众甲选中3号歌手的概率为

，观众乙选中3号歌手的概率为1－
=
，则观众丙选中3号歌手的概率也为1－
=
，则
（1－
）
（1－
）
=

（1－
）

+（1－
）




（1－
）=

（1－
）
+（1－
）
(
)
=

(
)
=

则
的分布列如下：

20. (本小题满分13分)

已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是
的角平分线, 证明直线l过定点.

【解析】（Ⅰ）设动圆圆心
的坐标为（
），则

（4－
）
+（0－
）
=
，整理得
。

所以，所求动圆圆心的轨迹
的方程为

（Ⅱ）证明：设直线
的方程为
，联立
得

（其中
）0），设
，
，若
轴是
的角平分线，则




0，即
，故直线l的方程为
，直线过定点（1，0）

21. (本小题满分14分)

已知函数
.

(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;

(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线
公共点的个数.

(Ⅲ) 设a

【解析】函数

（Ⅰ）函数
，设切点坐标为
则
，

。

（Ⅱ）
令
即