2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科A卷）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

锥体的体积公式：
．其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．ks5u

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．函数
的定义域是

A．
B．
C．
D．

3．若
，
，则复数
的模是

A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知
，那么

A．
B．
C．
D．

5．执行如图1所示的程序框图，若输入
的值为3，则输出
的值是

A．1 B．2 C．4 D．7

6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是

A．
B．
C．
D．

7．垂直于直线
且与圆
相切于第一象限的直线方程是

A．
B．

C．
D．

8．设
为直线，
是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为
，离心率等于
，则C的方程是

A．
B．
C．
D．

10．设
是已知的平面向量且
，关于向量
的分解，有如下四个命题：

①给定向量
，总存在向量
，使
；

②给定向量
和
，总存在实数
和
，使
；ks5u

③给定单位向量
和正数
，总存在单位向量
和实数
，使
；

④给定正数
和
，总存在单位向量
和单位向量
，使
；

上述命题中的向量
，
和
在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共5小题．考生
作答4小题．每小题5分，满分20
分．

（一）必做题（11～13题）

11．设数列
是首项为
，公比为
的等比数列，则

12．若曲线
在点
处的切线平行于
轴，则
．

13．已知变量
满足约束条件
，则
的最大值是 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线
的极坐标方程为
．以极点为原点，极轴为
轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线
的参数方程为 ．

15．（几何证明选讲选做题）

如图3，在矩形
中，

，
，垂足为
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
．

(1) 求
的值；

(2) 若
，求
．

17．（本小题满分13分）

从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）











频数（个）

5

10

20

15



(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在
的频率；

(2) 用分层抽样的方法从重量在
和
的苹果中共抽取4个，其中重量在
的有几个？

(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在
和
中各有1个的概率．

18．（本小题满分13分）

如图4，在边长为1的等边三角形
中，
分别是
边上的点，
，
是
的中点，
与
交于点
，将
沿
折起，得到如图5所示的三棱锥
，其中
．

(1) 证明：
//平面
；

(2) 证明：

平面
；ks5u

(3) 当
时，求三棱锥
的体积
．

19．（本小题满分14分）

设各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
且
构成等比数列．

(1) 证明：
；

(2) 求数列
的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数
，有
．

20．（本小题满分14分）

已知抛物线
的顶点为原点，其焦点
到直线
的距离为
．设
为直线
上的点，过点
作抛物线
的两条切线
，其中
为切点．

(1) 求抛物线
的方程；

(2) 当点
为直线
上的定点时，求直线
的方程；

(3) 当点
在直线
上移动时，求
的最小值．

21．（本小题满分14分）

设函数

．

(1) 当
时,求函数
的单调区间；

(2) 当
时,求函数
在
上的最小值
和最大值
．

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科A卷）解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

ACDCC BABDB

二、填空题：本大题共5小题．考生
作答4小题．每小题5分，满分20
分．

11.
12.
13. 5 14.
（
为参数） 15.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

【解析】(1)

（2）
，
，

．

17．（本小题满分13分）

【解析】（1）苹果的重量在
的频率为
；

（2）重量在
的有
个；

（3）设这4个苹果中
分段的为1，
分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：

（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在
和
中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以
.

18．（本小题满分13分）

【解析】（1）在等边三角形
中，

,在折叠后的三棱锥
中

也成立，
,
平面
，

平面
，
平面
；

（2）在等边三角形
中，
是
的中点，所以
①，
.

在三棱锥
中，
，
②

；

（3）由（1）可知
，结合（2）可得
.

19．（本小题满分14分）

【解析】（1）当
时，
，

（2）当
时，
，

,

当
时，
是公差
的等差数列.

构成等比数列，
，
，解得
,

由（1）可知，

是首项
,公差
的等差数列.

数列
的通项公式为
.

（3）

20．（本小题满分14分）

【解析】（1）依题意
，解得
（负根舍去）

抛物线
的方程为
；

（2）设点
,
，
，

由
,即
得

. ks5u

∴抛物线
在点
处的切线
的方程为
，

即
. ∵
， ∴
.

∵点
在切线
上, ∴
. ①

同理，
. ②

综合①、②得，点
的坐标都满足方程
.

∵经过
两点的直线是唯一的，

∴直线
的方程为
，即
；

（3）由抛物线的定义可知
，

所以

联立
，消去
得
，

当
时，
取得最小值