龙岩市2012～2013学年第一学期高三教学质量检查数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卷上.

2. 答题要求见答题卷上的“填涂样例”和“注意事项”.

参考公式：

锥体体积公式 球的表面积、体积公式

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

柱体体积公式

V=Sh

其中S为底面面积，h为高

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一. 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若
，则下列不等式成立的是

A.
B.
C.
D.

2. 已知
是实数集，
，则

A.
B.
C.
D.

3. “
”是“直线
与直线
互相垂直”的

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知函数
图象相邻两对称轴间的距离为
，则
的值是

A.
B.
C.
D.

5. 如右图，一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为
的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

6. 已知函数
在
处的极小值为
，则
等于

A.
B.
C.
D.

7. 已知正
的顶点
，顶点
在第一象限，若点
是
内部及其边界上一点，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

8. 对于不重合的直线
和平面
，下列命题错误的是

A. 若
，则
B. 若
，则
或

C. 若
，则
D. 若
，则
　

9. 设
、
是离心率为
的双曲线

的左、右两个焦点.若在双曲线左支上存在点
，使
（
为坐标原点)且
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

10. 设
是定义在
上的增函数，且对于任意的
都有
恒成立. 如果实数
，
满足不等式
，那么
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二. 填空题：（本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卷的相应位置上）

11.
.

12. 已知向量
，
，且
，则
等于 .

13. 已知数列
的首项为2，数列
为等差数列且
（
）.若
,
,则
.

14. 定义在
上的函数
满足
，

且
,

则
.

15. 如图放置的长方形
，
，
，
、
分别 在
轴、
轴的正半轴（含原点）上滑动，则
的最大值是 .

三. 解答题（本大题共6小题,共80分,把答案填在答题卷的相应位置上）

16.（本小题满分13分）

在
中，
、
、
分别是三个内角
、
、
的对边，
，
，
，且
的面积为
.

（I）求
的值；

（Ⅱ）求
的值.

17.（本小题满分13分）

在多面体
中，
为正方形,

,

平面
,
平面
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若点
为
的中点，求证：
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的大小.

18.（本小题满分13分）

某化工厂计划投入一条新的生产线，但需要经环保部门批准方可投入生产，经测算这条新生产线前
个月的生产累计产量为
吨，但如果月产量超过124吨，将会给环境造成危害.

（Ⅰ）如果该厂不采取环保措施，试问这条新生产线最多只能生产多少个月，才不会对环境造成危害；

（Ⅱ）为了使这条新生产线既能持续生产，同时又不污染环境，每月需要缴纳
万元的环保费用于治理环境，已知每吨产品售价为
万元，第
个月这条生产线的生产成本（环保费除外）为
万元，要使每月都有盈利，试求
的取值范围.

19.（本小题满分13分）

已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
与椭圆
相切
，直线
与
轴交于点
，当
为何值时
的面积有最小值？并求出最小值.

20.（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数
，其图象记为曲线
. 曲线
在点
处的切线
的方程为：
.

（ⅰ）求函数
的解析式；

（ⅱ）给出命题P：若对于任意非零实数
，曲线
与其在点
处的切线
交于另一点
，且
交
于点
；曲线
在点
处的切线
交
于点
，则
为定值. 请证明命题P是真命题.

（Ⅱ）对于一般的三次函数

，请给出类似于(Ⅰ) 中（ⅱ）的正确命题，并予以证明.

21. （本小题满分14分）本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按照所做的前两题记分.

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵

（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵
；

（Ⅱ）若直线
经过矩阵
变换后的直线方程为
，求直线
的方程.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
（
为参数）.若直线
与圆
相交于
,
两点，且
.

（Ⅰ）求圆
的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；

（Ⅱ）求实数
的值.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，

（Ⅰ）已知常数
，解关于
的不等式
；

（Ⅱ）若函数
的图象恒在函数
图象的上方，求实数
的取值范围.

龙岩市2012～2013学年第一学期高三教学质量检查

数学（理）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

B

C

A

C

B

D

A

A



二、填空题（本大题共5小题,每小题4分,共20分）

11.
； 12.
； 13.
； 14.
； 15.

16. 解：（Ⅰ）
，
…2分

即
的值是
…………………………………………………6分

（Ⅱ）由已知得

……………………………8分

由余弦定理，得
得

…………………………………………………………11分

,即
的值是7.…13分

17．解：（Ⅰ）

平面
，
平面

、
、
、
在同一平面内

为正方形，
,

又
,

平面
…………………4分

（Ⅱ）过
作
于
，

则

又
,

FGHB为平行四边形

，又
平面ABCD,HB
平面ABCD

平面
…………………8分

（Ⅲ）如图所示，建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
,

设
是平面
的一个法向量，