一、选择题：

1. 设全集为
，集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2. 复数
（
是虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 已知函数
（其中
）的图象如下面右图所示，

则函
的图象是( )

A． 　B． 　C． 　 D．

4. 要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是 （ ）

A．
B．
C．
D．

5.已知圆O：
，直线
过点（0，3），倾斜角为
，
在区间（0，π）内随机取值,
与圆O相交于A、B两点，则|AB|≤
的概率是( )

A．
B．
C．
D．

6. 执行右面的程序框图，若输入N＝2013，则输出S等于( )

A．1 B．
C．
D．

7. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

8. 在正方体
中, 点
在线段
上运动时，下列命题中正确的是（ ）

①三棱锥
的体积不变;②直线
与平面
所成角的大小不变;

③二面角
的大小不变;④
恒成立.

A.①④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边
上的一点，且
则
的值等于 .

10. 如图，
是半圆
的直径，
是半
圆
上异于
的点，
，垂足为
，已知
，
，则
．

11. 已知双曲线

的一条渐近线为
，且右焦点与抛物线

的焦点重合，则常数
的值为 .

12. 设
，则二项式
展开式中不含
项的系数和是 。

13. 直线
的参数方程是
（其中
为参数），圆
的极坐标方程为
，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 。

14. 为防洪抗旱，某地区大面积种植树造林，如图，在区域

内植树,第一棵树在
点，第二棵树在
点，第三棵树在C1（1，0）点，

第四棵树
点，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2013

棵树所在的点的坐标是 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在
中，角
的对边分别为
且
成等差数列，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的面积.

（16）（本小题共13分）

围棋对局中，执黑棋者先下，执白棋者后下．一次围棋比赛中，甲乙进入最后的冠军争夺战，决赛规则是三局两胜制（即三局比赛中，谁先赢得两局，就获得冠军），假定每局比赛没有平局，且每局比赛由裁判扔硬币决定谁执黑棋．根据甲乙双方以往对局记录，甲执黑棋对乙的胜率为
，甲执白棋对乙的胜率为

（1）求乙在一局比赛中获胜的概率；

（2）若冠军获得奖金10万元，亚军获得奖金５万元，且每局比赛胜方获得奖金１万元，负方获得奖金
万元，记甲在决赛中获得奖金数为X万元．求X的分布列和期望EX．

（17）（本小题共14分）

已知在四棱锥
中，底面
是矩形，且
，
，
平面
，
、
分别是线段
、
的中点．

（1）证明：
；

（2）判断并说明
上是否存在点
，使得
∥平面
；

（3）若
与平面
所成的角为
，求二面角
的余弦值．

(18) （本小题共13分）

已知函数

（1）若函数
在
上为增函数，求正实数
的取值范围；

（2）讨论函数
的单调性；

（3）当
时，求证：对大于
的任意正整数
，都有
。

（19）（本小题共13分）

已知椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线
是抛物线
的一条切线。

（1）求椭圆的方程；

（2）过点
的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径圆恒过点T？若存在求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

（20）（本小题共14分）

已知数列

满足
，且当

时
，
，令
．

（Ⅰ）写出
的所有可能的值；

（Ⅱ）求
的最大值；

（Ⅲ）是否存在数列
，使得
？若存在，求出数列
；若不存在，

说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）B （3）A （4）A

（5）D （6）D （7）B 构造正方体 （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9.4 10.
11.
12.161 13.

14. （11，44）

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15. （Ⅰ）∵A、B、C成等差数列，
，又

，

∴
，

∴
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

又∵
，

∴在△ABC中，由正弦定理，得

∴
.

∴△ABC的面积
.

16. （1）
………5分

（2）X取值为6，7,12，12．5，甲在一局比赛中获胜概率为

………6分

………7分

………8分

………9分

X

6

7

12

12．5



 P

　

　

　

　



 …………．．10分

………．．12分

17．解：（Ⅰ）∵
平面
，
，

，
，建立如图所示的空间直角坐标系
，

则
．…………2分

不妨令
∵
，

∴
，

即
．…………………………4分

（Ⅱ）设平面
的法向量为
，

由
，得
，令
，解得：
．

∴
． ………………………………………………………6分

设
点坐标为
，
，则
，

要使
∥平面
，只需
，即
，

得
，从而满足
的点
即为所求．……………………………8分

（Ⅲ）∵
，∴
是平面
的法向量，易得
，…………9分

又∵
平面
，∴
是
与平面
所成的角，

得
，
，平面
的法向量为
……10分

∴
，

故所求二面角
的余弦值为
．………12分

18.

解：（1）∵
∴
．．．．．．1

∵ 函数
在
上为增函数 ∴
对
恒成立

对
恒成立，即
对
恒成立∴
4分

（2）

，

当
时，
对
恒成立，
的增区间为
．．．．．．5

当
时，
，

的增区间为
，减区间为（
）．．．．．．6

（3）当
时，
，
，故
在
上为增函数。

当
时，令
，则
，故
．．．．．．8

∴
，即

∴

19. 解：（Ⅰ）由

因直线
相切，

，∴
，………………2分

∵圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角

形，∴
………………4分

故所求椭圆方程为
………………5分

（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：

当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：
[来源:学|科|网]

由

即两圆公共点（0，
1）

因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1） ………………7分

（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）

（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：

由

记点
．
………………9分

∴TA⊥TB, ………………11分

综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）． ……………12分

20.

解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列
的所有可能情况有：

（1）
此时
；（2）
此时
；

（3）
此时
；（4）
此时
；

（5）
此时
；（6）
此时
；

所以，
的所有可能的值为：
，
，
，
，
． ……4分

（Ⅱ）由
，

可设
，则
或
（
，
），

因为
，所以

．

因为
，所以
，且
为奇数，
是由

个1和
个
构成的数列．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

所以

．

则当
的前
项取
，后
项取
时
最大，

此时


．

证明如下：

假设
的前
项中恰有
项
取
，则

的后
项中恰有
项
取
，其中
，

，
，
．

．

所以
的最大值为
． ……9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果
的前
项中恰有