2013年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试

数学(理科答案)

当
时，
也成立，

即
恒成立，

所以
在上单调递增.

，

的惟一零点在
内，
的惟一零点在
内.

同理
的惟一零点在
内，因此

二、填空题：

13.－33 14.

15.
16．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

解：（I）设等差数列
的公差为d，由
，…………2分

又首项为，得
，

因为
，所以
，……………4分

所以
．………………6分

因为PM在平面PMN内，

所以PM∥平面ABC．………………5分

则
，

所以
为二面角
的平面角，………………10分

所以在直角
中
，

所以
，所以二面角
的余弦值为
．

解法二：（Ⅰ）存在点
,当
为线段AE的中点时，PM∥平面
，………1分

建立如图所示空间直角坐标系，则
,
,
,

,

中点
,

所以
,
,
,

可知
,
,
平面
,…………3分

又
,

平面
.……………5分

则由
，
,可得
，则
，

平面
的一个法向量为
，…………………10分

设二面角
的大小为
，

则
……………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设商店某天销售A商品获得的利润为
（单位：元）

当需求量为3时，


，

当需求量为时，
，

当需求量为5时，
， ………………2分

的分布列为

40

60







0.7



……………4分

则


（元）

所以商店该天销售A商品获得的利润均值为54元.……………………………6分

（Ⅱ）设销售A商品获得的利润为Y,

依题意, 视频率为概率，为追求更多的利润，

则商店每天购进的A商品的件数取值可能为3件，4件，5件.

当购进A商品3件时，

=
，

当购进A商品4件时，

=
……………8分

由
，得
，动点的轨迹的方程为
.………………4分

则
,

所以
，…………8分

设
得
代入上式，则
，并令
，

，

∴
，……………10分

令
得
，或
（舍去）

当
时，
；当
时
；当
时，

故当且仅当
时，
有最大值，即四边形ABCD的面积最大，此时
，

圆的方程为
.……………12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）定义域为
，
，

当
时，
，所以
在
上为增函数；………………2分

当
时，由
得
，且当
时，
，

当
时
，

所以
在
为减函数，在
为增函数．………………4分

设为，即
，且
；

由上可知当
时
，即
；当
时
，即
，

所以
，
，有最小值
，……………10分

把
代入上式可得
，又因为
，所以
，

又
恒成立，所以
，又因为为整数，

所以
，所以整数的最大值为1．…………………12分

22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

解：（Ⅰ）连结
，在直角三角形
中，易知
,
，…………2分

所以
，又因为
，所以
与
相似，

所以
，所以
．…………5分

（Ⅱ）当点是
的中点时，

直线
与圆
相切．……………6分

连接
，因为
是直角三角形
斜边的中线，所以
，所以
，因为
，所以
，………………8分

所以
，所以直线
与圆
相切．……………10分

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）法一：
时，圆C的直角坐标方程为
，……………2分

联立①②解得
（舍）或

所以点A的直角坐标为（4，－4）…………5分

所以
≥
，解得
.…………………10分

法二：圆C的直角坐标方程为
，

将
化为标准参数方程

代入得
，解得

，

∴d=
=
，…………………8分

,所以
≥
，解得
.…………………10分

法三：圆C的直角坐标方程为
，

直线l的方程为y=2x．

联立

得

解得

∴d=
=
，…………………8分

所以
≥
，解得
．………………10分