韶关市2013届高三年级第一次调研测试

数 学（理 科）

本试卷共4页，共21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效.

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

正棱锥的侧面积公式：
，是底面周长，
是斜高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.如果集合A=
中只有一个元素，则a的值是（ ）.

A．0 B．0 或2 C．2 D．－2或2

2．已知为虚数单位，则
=（ ）

A - B －1 C D 1

3.设
则这四个数的大小关系是( )

A．
B .
C.
D.

4. 若方程
表示双曲线，则实数k的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.
或

5. 某几何体的三视图如图所示(俯视图是正方形,正视图和左视图是正三角形)，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．12

6.
中，角、、
所对的边为、
、，若
，
，
的面积
，则
（　　　）

A.
　　　　B.
　　　C.
　　D.

7. 在实验员进行的一项实验中，先后要实施5个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序C和D实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有

A．15种 B.18种 C.24种 D.44种

8. 设
在区间上有定义, 若

, 都有
, 则称
是区间的向上凸函数；若

, 都有
, 则称
是区间的向下凸函数. 有下列四个判断:

①若
是区间的向上凸函数，则
是区间的向下凸函数;

②若
和
都是区间的向上凸函数, 则
是区间的向上凸函数;

③若
在区间的向下凸函数且
，则
是区间的向上凸函数;

④若
是区间的向上凸函数，
, 则有

其中正确的结论个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9~13题）

9. 若向量
，
，
满足条件
，则= .

10. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .

11.已知实数
满足
，则
的最大值为

12.设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
．

13. 平面上有条直线, 这条直线任意两条不平行, 任意三条不共点, 记这条直线将平面分成
部分, 则
___________,
时,
_________________.)(用表示).

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选做题）如图，AB、CD是圆的两条弦，

且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD=
，则线段AC的长度为 ．

15、（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，圆
的参数方程为

（为参数）在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，

以轴的正半轴为极轴）中，圆
的极坐方程为
，则
与
的位置关系

是______（在“相交、相离、内切、外切、内含”中选择一个你认为正确的填上）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

函数
(
)的部分图像如右所示.

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，且
，求
的值.

17. （本小题满分12分）

某校为了解高二学生、两个学科学习成绩的合格情况是否有关, 随机抽取了该年级一次期末考试、两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下22列联表:

学科合格人数

学科不合格人数

合计



学科合格人数

40

20

60



学科不合格人数

20

30

50



合计

60

50

110





（1）据此表格资料，你认为有多大把握认为“学科合格”与“学科合格”有关；

（2）从“学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“学科合格”的人数为
，求
的数学期望.

附公式与表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879





18. （本小题满分14分）

如图，三棱锥
中，
底面
于，
，
，点是
的中点.

（1）求证：侧面
平面
；

（2）若异面直线
与
所成的角为
，且
，

求二面角
的大小.

19.（本小题满分14分）

椭圆
的离心率为
，两焦点分别为
，点
是椭圆C上一点，
的周长为16，设线段MO（O为坐标原点）与圆
交于点N，且线段MN长度的最小值为
.

（1）求椭圆C以及圆O的方程；

（2）当点
在椭圆C上运动时，判断直线
与圆O的位置关系.

20.（本小题满分14分）

已知定义在实数集上的函数
，
，其导函数记为
，

（1）设函数
,求
的极大值与极小值；

(2）试求关于的方程
在区间
上的实数根的个数．

21.（本小题满分14分）

设等差数列
的公差
，等比数列
为公比为，且
，
，
.

（1）求等比数列
的公比的值；

（2）将数列
，
中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列
，是否存在正整数
（其中
）使得
和
都构成等差数列？若存在，求出一组
的值；若不存在，请说明理由.

韶关市2013届高三调研考试数学试题(理科)参考答案

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

DCBAB DCC

部分题目解析:

7. 解析：从程序A只能出现在第一步或最后,共有2种不同的排法；将程序C和D捆绑成一个元素，在和其它两个元素一起排列，有
种不同的排法，同时，考虑C和D有2种不同的位置排法。根据乘法计数原理，实验顺序的编排共有
种不同的方法。

8.解析:①②利用定义易知正确，③反例

因为

所以④正确.

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

9. 10., 11. 12. 13. 7(2分) ,
(3分)

14.
15. 内切.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．(本题满分12分)

函数
(
)的部分图像如右所示.

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，且
，求
的值

解：（1）∵ 由图可知：函数
的最大值为， ………2分

且

∴
，最小正周期
………4分

∴

故函数
的解析式为
. ………6分

（2）
，………8分

∴
∵
，

∴
，………………………10分

∴
………………………12分

某校为了解高二学生、两个学科学习成绩的合格情况是否有关, 随机抽取了该年级一次期末考试、两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下列22列联表:

学科合格人数

学科不合格人数

合计



学科合格人数

40

20

60



学科不合格人数

20

30

50



合计

60

50

110



（1）据此表格资料，你认为有多大把握认为“学科合格”与“学科合格”有关；

（2）从“学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“学科合格”的人数为
，求
的数学期望。

附公式与表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879





解：（1）
------3分

故认为有99%把握认为“学科合格”与“学科合格”有关 ------5分

（2）
服从超几何分布，
------7分

随机变量
的分布列为：



1

2















答：随机变量
的数学期望是
------12分

18.（本小题满分14分）

如图，三棱锥
中，
底面
于，
，
，点是
的中点.

（1）求证：侧面
平面
；

（2）若异面直线
与
所成的角为
，且
，

求二面角
的大小.

解：（1）∵
底面
，
平面
，

∴ 平面
平面
， 又∵
，

平面
平面

， ∴
平面
…………..3分

而
平面
∴侧面
平面
.……………………..5分

（2）取
的中点，则
是
的中位线

故
，所以
就是异面直线
与
所成的角
，……………..7分

设
，则在
中，
，

在
中，
，∴